Номер 3, страница 35, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. На рисунке 11 изображён график функции $y = f(x)$.

Постройте график функции:

1) $y = 2f(x)$;

2) $y = -f(x)$.

Рис. 11

Для построения графиков заданных функций воспользуемся методами геометрических преобразований графиков.

1) y = 2f(x);

Чтобы построить график функции $y = 2f(x)$, необходимо график исходной функции $y = f(x)$ растянуть в 2 раза вдоль оси ординат (оси OY). Это означает, что для каждой точки на исходном графике с координатами $(x_0, y_0)$, соответствующая точка на новом графике будет иметь координаты $(x_0, 2y_0)$. Абсциссы (координаты по оси $x$) всех точек остаются без изменений, а их ординаты (координаты по оси $y$) умножаются на 2.

Проанализируем ключевые точки исходного графика:

• Точка локального максимума: $A(-2, 1.5)$.
• Точка локального минимума: $B(0, -1)$.
• Нули функции (точки пересечения с осью OX): $C(-1, 0)$ и $D(1, 0)$.
• Контрольная точка: $E(2, 0.5)$.

Теперь найдем координаты соответствующих точек для графика функции $y = 2f(x)$:

• Точка $A$ перейдет в точку $A'(-2, 1.5 \cdot 2) = (-2, 3)$. Это будет новый локальный максимум.
• Точка $B$ перейдет в точку $B'(0, -1 \cdot 2) = (0, -2)$. Это будет новый локальный минимум.
• Точки $C$ и $D$ останутся на месте, так как их ордината равна нулю: $C'(-1, 0 \cdot 2) = (-1, 0)$ и $D'(1, 0 \cdot 2) = (1, 0)$.
• Точка $E$ перейдет в точку $E'(2, 0.5 \cdot 2) = (2, 1)$.

Соединив новые точки плавной кривой, сохраняя общую форму исходного графика, мы получим график функции $y = 2f(x)$. Он будет "вытянут" по вертикали по сравнению с исходным.

Ответ: График функции $y=2f(x)$ получается путем растяжения графика $y=f(x)$ от оси абсцисс в 2 раза. Локальный максимум будет в точке $(-2, 3)$, локальный минимум — в точке $(0, -2)$. Нули функции останутся прежними: $x=-1$ и $x=1$.

2) y = -f(x);

Чтобы построить график функции $y = -f(x)$, необходимо график исходной функции $y = f(x)$ симметрично отразить относительно оси абсцисс (оси OX). Это означает, что для каждой точки на исходном графике с координатами $(x_0, y_0)$, соответствующая точка на новом графике будет иметь координаты $(x_0, -y_0)$. Абсциссы всех точек остаются без изменений, а их ординаты меняют свой знак на противоположный.

Используем те же ключевые точки с исходного графика:

• Точка локального максимума: $A(-2, 1.5)$.
• Точка локального минимума: $B(0, -1)$.
• Нули функции: $C(-1, 0)$ и $D(1, 0)$.
• Контрольная точка: $E(2, 0.5)$.

Найдем координаты соответствующих точек для графика функции $y = -f(x)$:

• Точка $A$ перейдет в точку $A'(-2, -1.5)$. Локальный максимум превратится в локальный минимум.
• Точка $B$ перейдет в точку $B'(0, -(-1)) = (0, 1)$. Локальный минимум превратится в локальный максимум.
• Точки $C$ и $D$ останутся на месте, так как их ордината равна нулю: $C'(-1, -0) = (-1, 0)$ и $D'(1, -0) = (1, 0)$.
• Точка $E$ перейдет в точку $E'(2, -0.5)$.

Соединив новые точки плавной кривой, мы получим "перевернутый" относительно оси OX график функции $y = -f(x)$.

Ответ: График функции $y=-f(x)$ получается путем симметричного отражения графика $y=f(x)$ относительно оси абсцисс. Локальный максимум исходной функции $(-2, 1.5)$ станет локальным минимумом $(-2, -1.5)$, а локальный минимум $(0, -1)$ станет локальным максимумом $(0, 1)$. Нули функции останутся прежними: $x=-1$ и $x=1$.