Номер 4, страница 35, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Постройте график функции

$f(x) = \begin{cases} -2x - 8, & \text{если } x < -2 \\ -x^2, & \text{если } -2 \le x \le 2 \\ 2x - 8, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

Используя построенный график, укажите нули функции, её промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и промежутки убывания.

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения её графика рассмотрим каждый из трёх участков отдельно.

1. При $x < -2$ функция имеет вид $f(x) = -2x - 8$. Это линейная функция, её график — часть прямой. Для построения найдем две точки:

• Если $x = -4$, то $f(-4) = -2(-4) - 8 = 8 - 8 = 0$. Точка $(-4, 0)$.
• На границе промежутка, при $x = -2$, имеем $y = -2(-2) - 8 = 4 - 8 = -4$. Так как неравенство строгое ($x < -2$), точка $(-2, -4)$ будет "выколотой" (не принадлежать этому участку графика).

2. При $-2 \le x \le 2$ функция имеет вид $f(x) = -x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 0)$. Вычислим значения на границах этого отрезка:

• При $x = -2$, $f(-2) = -(-2)^2 = -4$. Точка $(-2, -4)$. Эта точка "закрашенная", она принадлежит графику.
• При $x = 2$, $f(2) = -(2)^2 = -4$. Точка $(2, -4)$. Эта точка также принадлежит графику.

3. При $x > 2$ функция имеет вид $f(x) = 2x - 8$. Это также линейная функция, её график — часть прямой. Для построения найдем две точки:

• Если $x = 4$, то $f(4) = 2(4) - 8 = 8 - 8 = 0$. Точка $(4, 0)$.
• На границе промежутка, при $x = 2$, имеем $y = 2(2) - 8 = 4 - 8 = -4$. Так как неравенство строгое ($x > 2$), точка $(2, -4)$ будет "выколотой".

Совместив все три части на одной координатной плоскости, мы видим, что в точках $x=-2$ и $x=2$ разрывов нет, так как значения функций на границах совпадают. График является непрерывной линией.

Теперь, используя построенный график, ответим на вопросы.

нули функции

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю, т.е. $f(x) = 0$. Графически это точки пересечения графика с осью абсцисс (Ox).
Из построения графика мы нашли три такие точки:
1. На промежутке $x < -2$: $-2x - 8 = 0 \implies x = -4$.
2. На промежутке $-2 \le x \le 2$: $-x^2 = 0 \implies x = 0$.
3. На промежутке $x > 2$: $2x - 8 = 0 \implies x = 4$.
Ответ: $-4; 0; 4$.

её промежутки знакопостоянства

Промежутки знакопостоянства — это интервалы, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения.
1. Функция положительна ($f(x) > 0$), когда её график находится выше оси Ox. Это происходит на интервале от $-4$ до $-2$.
2. Функция отрицательна ($f(x) < 0$), когда её график находится ниже оси Ox. Это происходит на трёх интервалах: левее $-4$; между $-2$ и $0$; между $0$ и $4$.
Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-4, -2)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, -4) \cup [-2, 0) \cup (0, 4)$.

промежутки возрастания и промежутки убывания

1. Промежутки возрастания — это интервалы, на которых с увеличением $x$ значение $f(x)$ также увеличивается (график "идёт вверх").
- Участок параболы от $x=-2$ до вершины в $x=0$.
- Участок прямой при $x>2$.
2. Промежутки убывания — это интервалы, на которых с увеличением $x$ значение $f(x)$ уменьшается (график "идёт вниз").
- Участок прямой при $x<-2$.
- Участок параболы от вершины в $x=0$ до $x=2$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $[-2, 0]$ и $[2, +\infty)$; функция убывает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[0, 2]$.