Номер 3, страница 37, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. На рисунке 13 изображён график функции $y = f(x)$. Постройте график функции:

1) $y = 3f(x)$;

2) $y = -f(x)$.

Рис. 13

Для построения требуемых графиков мы применим к исходному графику функции $y=f(x)$ соответствующие геометрические преобразования.

1) y = 3f(x)

График функции $y = kf(x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем его растяжения вдоль оси ординат ($Oy$) в $k$ раз, если $k > 1$. В нашем случае $k = 3$, следовательно, нам нужно растянуть исходный график в 3 раза вдоль оси $y$.

Это означает, что абсцисса ($x$) каждой точки графика остается неизменной, а ее ордината ($y$) умножается на 3.

Проанализируем ключевые точки:

• Точки, в которых $f(x) = 0$ (пересечения с осью $Ox$), остаются на своих местах, так как $3 \cdot 0 = 0$. Это точки с абсциссами примерно $-3$, $0$, $3$.
• Локальный максимум в точке с координатами примерно $(-1.5, 1)$ на новом графике станет точкой с координатами $(-1.5, 3 \cdot 1) = (-1.5, 3)$.
• Локальный минимум в точке с координатами примерно $(1.5, -1)$ на новом графике станет точкой с координатами $(1.5, 3 \cdot (-1)) = (1.5, -3)$.

Таким образом, новый график будет "вытянут" по вертикали, его "вершины" и "впадины" станут в 3 раза дальше от оси $Ox$.

Ответ: Чтобы построить график функции $y=3f(x)$, необходимо график функции $y=f(x)$ растянуть в 3 раза от оси абсцисс.

2) y = -f(x)

График функции $y = -f(x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем его симметричного отражения относительно оси абсцисс ($Ox$).

Это означает, что абсцисса ($x$) каждой точки графика остается неизменной, а ее ордината ($y$) меняет свой знак на противоположный.

Проанализируем ключевые точки:

• Точки пересечения с осью $Ox$ (где $y=0$) остаются на месте.
• Локальный максимум в точке $(-1.5, 1)$ после отражения превратится в локальный минимум в точке $(-1.5, -1)$.
• Локальный минимум в точке $(1.5, -1)$ после отражения превратится в локальный максимум в точке $(1.5, 1)$.

Таким образом, все части графика, которые были над осью $Ox$, окажутся под ней, и наоборот. График как бы "перевернется" относительно горизонтальной оси.

Ответ: Чтобы построить график функции $y=-f(x)$, необходимо график функции $y=f(x)$ симметрично отразить относительно оси абсцисс.