Номер 4, страница 37, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Постройте график функции

$f(x) = \begin{cases} 0,4x + 2,4, & \text{если } x < -1 \\ 2x^2, & \text{если } -1 \le x \le 1 \\ 3 - x, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Используя построенный график, укажите нули функции, её промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и промежутки убывания.

Данная функция является кусочно-заданной. Построим её график, рассматривая каждый участок отдельно.

1. При $x < -1$ функция имеет вид $f(x) = 0,4x + 2,4$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения найдем две точки:

   • Граничная точка: при $x = -1$, $f(-1) = 0,4 \cdot (-1) + 2,4 = -0,4 + 2,4 = 2$. Точка $(-1; 2)$ будет выколотой (пустой), так как неравенство строгое ($x < -1$).
   • Дополнительная точка: пусть $x = -6$, тогда $f(-6) = 0,4 \cdot (-6) + 2,4 = -2,4 + 2,4 = 0$. Точка $(-6; 0)$.

   Проводим луч через точки $(-6; 0)$ и $(-1; 2)$, при этом точка $(-1; 2)$ не включается в график.

2. При $-1 \le x \le 1$ функция имеет вид $f(x) = 2x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0; 0)$.

   • Найдём значения на концах отрезка:
   • При $x = -1$, $f(-1) = 2 \cdot (-1)^2 = 2$. Точка $(-1; 2)$ будет закрашенной (включена в график). Эта точка совпадает с выколотой точкой первого участка, делая функцию непрерывной в $x=-1$.
   • При $x = 1$, $f(1) = 2 \cdot 1^2 = 2$. Точка $(1; 2)$ также будет закрашенной.
   • Вершина параболы: $x_0 = 0$, $f(0) = 2 \cdot 0^2 = 0$. Точка $(0; 0)$.

   Строим участок параболы, соединяющий точки $(-1; 2)$, $(0; 0)$ и $(1; 2)$.

3. При $x > 1$ функция имеет вид $f(x) = 3 - x$. Это линейная функция, её график — прямая.

   • Граничная точка: при $x = 1$, $f(1) = 3 - 1 = 2$. Точка $(1; 2)$ будет выколотой. Она совпадает с закрашенной точкой второго участка, делая функцию непрерывной в $x=1$.
   • Дополнительная точка: пусть $x = 3$, тогда $f(3) = 3 - 3 = 0$. Точка $(3; 0)$.

   Проводим луч, исходящий из точки $(1; 2)$ и проходящий через точку $(3; 0)$.

Теперь, используя построенный график, ответим на поставленные вопросы.

Нули функции

Нули функции — это значения $x$, при которых $f(x) = 0$. Это точки пересечения графика с осью абсцисс (Ox).
1. На участке $x < -1$: $0,4x + 2,4 = 0 \implies 0,4x = -2,4 \implies x = -6$.
2. На участке $-1 \le x \le 1$: $2x^2 = 0 \implies x = 0$.
3. На участке $x > 1$: $3 - x = 0 \implies x = 3$.
Ответ: нулями функции являются $x = -6$, $x = 0$, $x = 3$.

Промежутки знакопостоянства

Это промежутки, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения.
- Функция положительна ($f(x) > 0$), когда её график находится выше оси Ox. Из графика видно, что это происходит на интервалах от -6 до 0 и от 0 до 3.
- Функция отрицательна ($f(x) < 0$), когда её график находится ниже оси Ox. Это происходит при $x$ меньше -6 и при $x$ больше 3.
Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-6; 0) \cup (0; 3)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; -6) \cup (3; +\infty)$.

Промежутки возрастания и убывания

- Функция возрастает, когда с увеличением $x$ значение $f(x)$ также увеличивается (график идёт вверх).
Это происходит на луче при $x < -1$ и на правой ветви параболы от $x=0$ до $x=1$.
- Функция убывает, когда с увеличением $x$ значение $f(x)$ уменьшается (график идёт вниз).
Это происходит на левой ветви параболы от $x=-1$ до $x=0$ и на луче при $x > 1$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$; функция убывает на промежутках $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$.