Номер 4, страница 38, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Постройте график функции

$f(x) = \begin{cases} -x - 3, & \text{если } x < -1 \\ -2x^2, & \text{если } -1 \le x \le 1 \\ 2x - 4, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Используя построенный график, укажите нули функции, её промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и промежутки убывания.

Для построения графика кусочно-заданной функции рассмотрим каждый участок отдельно.

1. На промежутке $x < -1$ функция задана формулой $f(x) = -x - 3$. Это линейная функция, ее график – прямая. Для построения найдем две точки:
Если $x = -2$, то $f(-2) = -(-2) - 3 = 2 - 3 = -1$. Точка $(-2; -1)$.
Если $x = -3$, то $f(-3) = -(-3) - 3 = 3 - 3 = 0$. Точка $(-3; 0)$.
На границе промежутка при $x = -1$ значение функции будет $f(-1) = -(-1) - 3 = -2$. Так как неравенство строгое ($x < -1$), точка $(-1; -2)$ на графике будет выколотой (пустой кружок).

2. На промежутке $-1 \le x \le 1$ функция задана формулой $f(x) = -2x^2$. Это квадратичная функция, ее график – парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится в точке $(0; 0)$. Найдем значения на границах промежутка:
Если $x = -1$, то $f(-1) = -2(-1)^2 = -2$. Точка $(-1; -2)$.
Если $x = 1$, то $f(1) = -2(1)^2 = -2$. Точка $(1; -2)$.
Так как неравенство нестрогое ($-1 \le x \le 1$), точки $(-1; -2)$ и $(1; -2)$ будут закрашенными.

3. На промежутке $x > 1$ функция задана формулой $f(x) = 2x - 4$. Это линейная функция, ее график – прямая. Для построения найдем две точки:
Если $x = 2$, то $f(2) = 2(2) - 4 = 0$. Точка $(2; 0)$.
Если $x = 3$, то $f(3) = 2(3) - 4 = 2$. Точка $(3; 2)$.
На границе промежутка при $x = 1$ значение функции будет $f(1) = 2(1) - 4 = -2$. Так как неравенство строгое ($x > 1$), точка $(1; -2)$ на графике будет выколотой.

Соединив все части, получаем график функции. Заметим, что в точках $x=-1$ и $x=1$ разрывов нет, так как значения функции на границах участков совпадают.

Используя построенный график, определим свойства функции.

нули функции
Нули функции – это значения $x$, при которых $f(x) = 0$. Из графика и расчетов видно, что график пересекает ось абсцисс в трех точках:
1. $-x - 3 = 0 \Rightarrow x = -3$ (принадлежит промежутку $x < -1$)
2. $-2x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$ (принадлежит промежутку $-1 \le x \le 1$)
3. $2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$ (принадлежит промежутку $x > 1$)
Ответ: $x = -3, x = 0, x = 2$.

промежутки знакопостоянства
Определим, на каких промежутках функция принимает положительные, а на каких – отрицательные значения.
Функция положительна ($f(x) > 0$), когда ее график находится выше оси Ox. Это происходит на интервалах $(-3; 0)$ и $(2; +\infty)$.
Функция отрицательна ($f(x) < 0$), когда ее график находится ниже оси Ox. Это происходит на интервалах $(-\infty; -3)$ и $(0; 2)$.
Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-3; 0) \cup (2; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; -3) \cup (0; 2)$.

промежутки возрастания
Функция возрастает, когда с увеличением $x$ значение $f(x)$ также увеличивается (график идет вверх).
На промежутке $[-1; 0]$ (часть параболы) и на промежутке $(1; +\infty)$ (прямая с положительным коэффициентом).
Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1; 0]$ и $(1; +\infty)$.

промежутки убывания
Функция убывает, когда с увеличением $x$ значение $f(x)$ уменьшается (график идет вниз).
На промежутке $(-\infty; -1)$ (прямая с отрицательным коэффициентом) и на промежутке $[0; 1]$ (часть параболы).
Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$.