Номер 3, страница 38, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. На рисунке 14 изображён график функции $y = f(x)$.

Постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{2} f(x)$;

2) $y = -f(x)$.

Рис. 14

Для решения задачи сначала проанализируем исходный график функции $y=f(x)$. Масштаб по обеим осям таков, что одна клетка равна 0.5 единицы.

Ключевые точки на графике $y=f(x)$:

• Два локальных максимума в точках $(-1; 1.5)$ и $(1; 1.5)$.
• Один локальный минимум в точке $(0; -0.5)$.
• Нули функции (точки пересечения с осью OX) находятся примерно в точках $x \approx \pm 0.7$ и $x \approx \pm 1.4$.

Теперь построим графики требуемых функций.

Чтобы построить график функции $y = \frac{1}{2}f(x)$, необходимо выполнить преобразование графика функции $y=f(x)$, а именно — сжатие графика вдоль оси ординат (оси OY) к оси абсцисс (оси OX) в 2 раза.

Это означает, что для каждой точки $(x_0, y_0)$ на исходном графике соответствующая точка на новом графике будет иметь координаты $(x_0, \frac{1}{2}y_0)$. Абсциссы всех точек остаются неизменными, а их ординаты умножаются на коэффициент $\frac{1}{2}$.

Рассмотрим, как изменятся ключевые точки:

• Локальные максимумы из точек $(-1; 1.5)$ и $(1; 1.5)$ переместятся в точки $(-1; 1.5 \cdot \frac{1}{2}) = (-1; 0.75)$ и $(1; 1.5 \cdot \frac{1}{2}) = (1; 0.75)$.
• Локальный минимум из точки $(0; -0.5)$ переместится в точку $(0; -0.5 \cdot \frac{1}{2}) = (0; -0.25)$.
• Точки пересечения с осью OX, в которых $y=0$, останутся на своих местах, так как $0 \cdot \frac{1}{2} = 0$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{2}f(x)$ — это исходный график, сжатый по вертикали к оси абсцисс в два раза. Локальные максимумы нового графика находятся в точках $(-1; 0.75)$ и $(1; 0.75)$, а локальный минимум — в точке $(0; -0.25)$.

Чтобы построить график функции $y = -f(x)$, необходимо симметрично отразить график функции $y=f(x)$ относительно оси абсцисс (оси OX).

При таком преобразовании каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика переходит в точку $(x_0, -y_0)$. Абсциссы всех точек остаются неизменными, а знаки их ординат меняются на противоположные.

Рассмотрим, как изменятся ключевые точки:

• Локальные максимумы исходного графика в точках $(-1; 1.5)$ и $(1; 1.5)$ превратятся в локальные минимумы в точках $(-1; -1.5)$ и $(1; -1.5)$.
• Локальный минимум исходного графика в точке $(0; -0.5)$ превратится в локальный максимум в точке $(0; -(-0.5)) = (0; 0.5)$.
• Точки пересечения с осью OX останутся на своих местах, так как $-0 = 0$.
• Части графика, которые были выше оси OX (положительные значения $f(x)$), окажутся ниже, и наоборот.

Ответ: График функции $y = -f(x)$ — это исходный график, симметрично отражённый относительно оси абсцисс. Локальные максимумы исходного графика становятся локальными минимумами в точках $(-1; -1.5)$ и $(1; -1.5)$, а локальный минимум становится локальным максимумом в точке $(0; 0.5)$.