Номер 4, страница 36, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Постройте график функции

$f(x) = \begin{cases} -x - 2, & \text{если } x < -1, \\ -x^2, & \text{если } -1 \leq x \leq 1, \\ x - 2, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

Используя построенный график, укажите нули функции, её промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и промежутки убывания.

Для построения графика кусочно-заданной функции рассмотрим каждый её участок отдельно.

1. При $x < -1$ функция имеет вид $f(x) = -x - 2$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения найдем две точки:

• Если $x = -2$, то $f(-2) = -(-2) - 2 = 0$. Точка $(-2; 0)$.
• Если $x = -3$, то $f(-3) = -(-3) - 2 = 1$. Точка $(-3; 1)$.

На границе интервала при $x = -1$ имеем $f(-1) = -(-1) - 2 = -1$. Точка $(-1; -1)$ будет "выколотой", так как неравенство строгое ($x < -1$).

2. При $-1 \le x \le 1$ функция имеет вид $f(x) = -x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0; 0)$.

• На левой границе при $x = -1$, $f(-1) = -(-1)^2 = -1$. Точка $(-1; -1)$ принадлежит графику.
• На правой границе при $x = 1$, $f(1) = -(1)^2 = -1$. Точка $(1; -1)$ принадлежит графику.

Так как точка $(-1; -1)$ является "выколотой" для первого участка и "закрашенной" для второго, разрыва в этой точке нет.

3. При $x > 1$ функция имеет вид $f(x) = x - 2$. Это линейная функция, её график — прямая.

• На границе интервала при $x = 1$, $f(1) = 1 - 2 = -1$. Точка $(1; -1)$ будет "выколотой". Однако, как и в предыдущем случае, разрыва в этой точке нет.
• Если $x = 2$, то $f(2) = 2 - 2 = 0$. Точка $(2; 0)$.

Объединив все три части, получаем график функции. Теперь, используя график, проанализируем свойства функции.

Нули функции
Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($f(x) = 0$). Это точки пересечения графика с осью абсцисс (Ox). Из построения графика видно, что он пересекает ось Ox в трех точках:

• На первом участке: $-x - 2 = 0 \implies x = -2$.
• На втором участке: $-x^2 = 0 \implies x = 0$.
• На третьем участке: $x - 2 = 0 \implies x = 2$.

Промежутки знакопостоянства
Это промежутки, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения.

• Функция положительна ($f(x) > 0$), когда её график находится выше оси Ox. Это происходит на промежутках $(-\infty; -2)$ и $(2; +\infty)$.
• Функция отрицательна ($f(x) < 0$), когда её график находится ниже оси Ox. Это происходит на промежутках $(-2; 0)$ и $(0; 2)$.

Промежутки возрастания и убывания

• Функция возрастает, когда её график "идёт вверх" при движении слева направо. Это происходит на промежутках $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$.
• Функция убывает, когда её график "идёт вниз" при движении слева направо. Это происходит на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$.