Номер 3, страница 36, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. На рисунке 12 изображён график функции $y = f(x)$.

Постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{2}f(x)$;

2) $y = -f(x)$.

Рис. 12

Для построения графиков необходимо выполнить геометрические преобразования исходного графика функции $y = f(x)$.

1) $y = \frac{1}{2}f(x)$

Чтобы построить график функции $y = \frac{1}{2}f(x)$, нужно выполнить преобразование графика функции $y = f(x)$ — сжатие вдоль оси ординат (оси OY) в 2 раза. Это означает, что абсцисса каждой точки графика остается неизменной, а ордината умножается на $\frac{1}{2}$.

Найдем координаты ключевых точек исходного графика:

• Точки пересечения с осью OX (нули функции): $(-2, 0)$ и $(1, 0)$.
• Точка локального минимума: $(-1, -2)$.
• Точка локального максимума: $(0, 2)$.

Теперь вычислим координаты соответствующих точек для нового графика $y = \frac{1}{2}f(x)$:

• Точки пересечения с осью OX: $(-2, \frac{1}{2} \cdot 0) = (-2, 0)$ и $(1, \frac{1}{2} \cdot 0) = (1, 0)$. Нули функции сохраняются.
• Новая точка минимума: $(-1, \frac{1}{2} \cdot (-2)) = (-1, -1)$.
• Новая точка максимума: $(0, \frac{1}{2} \cdot 2) = (0, 1)$.

Соединив новые точки плавной кривой, мы получим график, который сохраняет форму исходного, но сжат по вертикали.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{2}f(x)$ получается из исходного графика путем сжатия вдоль оси OY в 2 раза. Локальный минимум будет в точке $(-1, -1)$, локальный максимум — в точке $(0, 1)$, а нули функции останутся в точках $x = -2$ и $x = 1$.

2) $y = -f(x)$

Чтобы построить график функции $y = -f(x)$, нужно выполнить преобразование графика функции $y = f(x)$ — симметричное отражение относительно оси абсцисс (оси OX). Это означает, что абсцисса каждой точки графика остается неизменной, а ордината меняет свой знак на противоположный.

Используем те же ключевые точки исходного графика:

• Точки пересечения с осью OX: $(-2, 0)$ и $(1, 0)$.
• Точка локального минимума: $(-1, -2)$.
• Точка локального максимума: $(0, 2)$.

Теперь вычислим координаты соответствующих точек для нового графика $y = -f(x)$:

• Точки пересечения с осью OX: $(-2, -0) = (-2, 0)$ и $(1, -0) = (1, 0)$. Нули функции сохраняются.
• Исходный минимум превратится в локальный максимум: $(-1, -(-2)) = (-1, 2)$.
• Исходный максимум превратится в локальный минимум: $(0, -(2)) = (0, -2)$.

Соединив новые точки плавной кривой, мы получим график, который является "зеркальным отражением" исходного относительно оси OX.

Ответ: График функции $y = -f(x)$ получается из исходного графика путем симметричного отражения относительно оси OX. Исходный локальный минимум $(-1, -2)$ станет локальным максимумом в точке $(-1, 2)$, исходный локальный максимум $(0, 2)$ станет локальным минимумом в точке $(0, -2)$, а нули функции останутся в точках $x = -2$ и $x = 1$.