Страница 36 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. При каком значении $b$ точка $K (-4; b)$ принадлежит графику функции $y = 0,2x^2$?

1) 3,2

2) 0,8

3) -0,8

4) -3,2

1. Для того чтобы точка $K(-4; b)$ принадлежала графику функции $y = 0,2x^2$, ее координаты должны удовлетворять уравнению этой функции. Это значит, что если подставить абсциссу точки ($x = -4$) в уравнение функции, то полученное значение $y$ должно быть равно ординате точки ($y = b$).
Подставим значение $x = -4$ в уравнение функции:
$y = 0,2 \cdot (-4)^2$
Поскольку $y=b$, получаем:
$b = 0,2 \cdot (-4)^2$
Выполним вычисления по порядку действий. Сначала возведение в степень:
$(-4)^2 = 16$
Теперь выполним умножение:
$b = 0,2 \cdot 16$
$b = 3,2$
Таким образом, при $b = 3,2$ точка $K(-4; 3,2)$ будет принадлежать графику функции $y = 0,2x^2$. Данное значение соответствует варианту ответа 1).
Ответ: 3,2

2. При каком значении $a$ точка $A (-3; 45)$ принадлежит графику функции $y = ax^2$?
1) 5
2) -5
3) 15
4) такого значения $a$ не существует

Для того чтобы точка A(x; y) принадлежала графику функции, ее координаты должны удовлетворять уравнению этой функции. В данном случае, точка A имеет координаты $x = -3$ и $y = 45$, а функция задана уравнением $y = ax^2$.

Подставим значения координат точки A в уравнение функции:

$45 = a \cdot (-3)^2$

Теперь необходимо решить полученное уравнение относительно переменной $a$. Сначала вычислим значение $(-3)^2$:

$(-3)^2 = 9$

Подставим это значение обратно в уравнение:

$45 = a \cdot 9$

Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на 9:

$a = \frac{45}{9}$

$a = 5$

Следовательно, при значении $a = 5$ точка A(-3; 45) принадлежит графику функции $y = ax^2$. Этот ответ соответствует варианту 1).

Ответ: 5

3. На рисунке 12 изображён график функции $y = f(x)$.

Постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{2}f(x)$;

2) $y = -f(x)$.

Рис. 12

Для построения графиков необходимо выполнить геометрические преобразования исходного графика функции $y = f(x)$.

1) $y = \frac{1}{2}f(x)$

Чтобы построить график функции $y = \frac{1}{2}f(x)$, нужно выполнить преобразование графика функции $y = f(x)$ — сжатие вдоль оси ординат (оси OY) в 2 раза. Это означает, что абсцисса каждой точки графика остается неизменной, а ордината умножается на $\frac{1}{2}$.

Найдем координаты ключевых точек исходного графика:

• Точки пересечения с осью OX (нули функции): $(-2, 0)$ и $(1, 0)$.
• Точка локального минимума: $(-1, -2)$.
• Точка локального максимума: $(0, 2)$.

Теперь вычислим координаты соответствующих точек для нового графика $y = \frac{1}{2}f(x)$:

• Точки пересечения с осью OX: $(-2, \frac{1}{2} \cdot 0) = (-2, 0)$ и $(1, \frac{1}{2} \cdot 0) = (1, 0)$. Нули функции сохраняются.
• Новая точка минимума: $(-1, \frac{1}{2} \cdot (-2)) = (-1, -1)$.
• Новая точка максимума: $(0, \frac{1}{2} \cdot 2) = (0, 1)$.

Соединив новые точки плавной кривой, мы получим график, который сохраняет форму исходного, но сжат по вертикали.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{2}f(x)$ получается из исходного графика путем сжатия вдоль оси OY в 2 раза. Локальный минимум будет в точке $(-1, -1)$, локальный максимум — в точке $(0, 1)$, а нули функции останутся в точках $x = -2$ и $x = 1$.

2) $y = -f(x)$

Чтобы построить график функции $y = -f(x)$, нужно выполнить преобразование графика функции $y = f(x)$ — симметричное отражение относительно оси абсцисс (оси OX). Это означает, что абсцисса каждой точки графика остается неизменной, а ордината меняет свой знак на противоположный.

Используем те же ключевые точки исходного графика:

• Точки пересечения с осью OX: $(-2, 0)$ и $(1, 0)$.
• Точка локального минимума: $(-1, -2)$.
• Точка локального максимума: $(0, 2)$.

Теперь вычислим координаты соответствующих точек для нового графика $y = -f(x)$:

• Точки пересечения с осью OX: $(-2, -0) = (-2, 0)$ и $(1, -0) = (1, 0)$. Нули функции сохраняются.
• Исходный минимум превратится в локальный максимум: $(-1, -(-2)) = (-1, 2)$.
• Исходный максимум превратится в локальный минимум: $(0, -(2)) = (0, -2)$.

Соединив новые точки плавной кривой, мы получим график, который является "зеркальным отражением" исходного относительно оси OX.

Ответ: График функции $y = -f(x)$ получается из исходного графика путем симметричного отражения относительно оси OX. Исходный локальный минимум $(-1, -2)$ станет локальным максимумом в точке $(-1, 2)$, исходный локальный максимум $(0, 2)$ станет локальным минимумом в точке $(0, -2)$, а нули функции останутся в точках $x = -2$ и $x = 1$.

4. Постройте график функции

$f(x) = \begin{cases} -x - 2, & \text{если } x < -1, \\ -x^2, & \text{если } -1 \leq x \leq 1, \\ x - 2, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

Используя построенный график, укажите нули функции, её промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и промежутки убывания.

Для построения графика кусочно-заданной функции рассмотрим каждый её участок отдельно.

1. При $x < -1$ функция имеет вид $f(x) = -x - 2$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения найдем две точки:

• Если $x = -2$, то $f(-2) = -(-2) - 2 = 0$. Точка $(-2; 0)$.
• Если $x = -3$, то $f(-3) = -(-3) - 2 = 1$. Точка $(-3; 1)$.

На границе интервала при $x = -1$ имеем $f(-1) = -(-1) - 2 = -1$. Точка $(-1; -1)$ будет "выколотой", так как неравенство строгое ($x < -1$).

2. При $-1 \le x \le 1$ функция имеет вид $f(x) = -x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0; 0)$.

• На левой границе при $x = -1$, $f(-1) = -(-1)^2 = -1$. Точка $(-1; -1)$ принадлежит графику.
• На правой границе при $x = 1$, $f(1) = -(1)^2 = -1$. Точка $(1; -1)$ принадлежит графику.

Так как точка $(-1; -1)$ является "выколотой" для первого участка и "закрашенной" для второго, разрыва в этой точке нет.

3. При $x > 1$ функция имеет вид $f(x) = x - 2$. Это линейная функция, её график — прямая.

• На границе интервала при $x = 1$, $f(1) = 1 - 2 = -1$. Точка $(1; -1)$ будет "выколотой". Однако, как и в предыдущем случае, разрыва в этой точке нет.
• Если $x = 2$, то $f(2) = 2 - 2 = 0$. Точка $(2; 0)$.

Объединив все три части, получаем график функции. Теперь, используя график, проанализируем свойства функции.

Нули функции
Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($f(x) = 0$). Это точки пересечения графика с осью абсцисс (Ox). Из построения графика видно, что он пересекает ось Ox в трех точках:

• На первом участке: $-x - 2 = 0 \implies x = -2$.
• На втором участке: $-x^2 = 0 \implies x = 0$.
• На третьем участке: $x - 2 = 0 \implies x = 2$.

Промежутки знакопостоянства
Это промежутки, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения.

• Функция положительна ($f(x) > 0$), когда её график находится выше оси Ox. Это происходит на промежутках $(-\infty; -2)$ и $(2; +\infty)$.
• Функция отрицательна ($f(x) < 0$), когда её график находится ниже оси Ox. Это происходит на промежутках $(-2; 0)$ и $(0; 2)$.

Промежутки возрастания и убывания

• Функция возрастает, когда её график "идёт вверх" при движении слева направо. Это происходит на промежутках $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$.
• Функция убывает, когда её график "идёт вниз" при движении слева направо. Это происходит на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$.