Страница 29 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Функция задана формулой $f(x) = \frac{x^2 - 3}{x^2 + 3}$. Укажите неверное равенство.

1) $f(1) = -\frac{1}{2}$

2) $f(-1) = \frac{1}{2}$

3) $f(0) = -1$

4) $f(2) = \frac{1}{7}$

Чтобы найти неверное равенство, нужно проверить каждое из четырех утверждений, подставив указанное значение аргумента $x$ в формулу функции $f(x) = \frac{x^2 - 3}{x^2 + 3}$.

1) f(1) = -1/2

Подставляем $x = 1$ в формулу функции:

$f(1) = \frac{1^2 - 3}{1^2 + 3} = \frac{1 - 3}{1 + 3} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Полученный результат совпадает с указанным в равенстве. Следовательно, это равенство верное.

2) f(-1) = 1/2

Подставляем $x = -1$ в формулу функции:

$f(-1) = \frac{(-1)^2 - 3}{(-1)^2 + 3} = \frac{1 - 3}{1 + 3} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Полученный результат ($-\frac{1}{2}$) не совпадает с указанным в равенстве ($\frac{1}{2}$). Следовательно, это равенство неверное.

3) f(0) = -1

Подставляем $x = 0$ в формулу функции:

$f(0) = \frac{0^2 - 3}{0^2 + 3} = \frac{-3}{3} = -1$.

Полученный результат совпадает с указанным в равенстве. Следовательно, это равенство верное.

4) f(2) = 1/7

Подставляем $x = 2$ в формулу функции:

$f(2) = \frac{2^2 - 3}{2^2 + 3} = \frac{4 - 3}{4 + 3} = \frac{1}{7}$.

Полученный результат совпадает с указанным в равенстве. Следовательно, это равенство верное.

Таким образом, единственное неверное равенство указано под номером 2.

Ответ: 2

2. Функция задана формулой $f(x) = -\frac{16}{x}$. Укажите значение аргумента, при котором $f(x) = 32$.

1) -0,5

2) 0,5

3) -2

4) 2

По условию задачи, функция задана формулой $f(x) = -\frac{16}{x}$. Требуется найти значение аргумента $x$, при котором значение функции $f(x)$ равно 32.

Для этого необходимо решить уравнение $f(x) = 32$. Подставим в него формулу функции:
$-\frac{16}{x} = 32$

Чтобы найти неизвестный знаменатель $x$, можно представить число 32 в виде дроби $32 = \frac{32}{1}$ и воспользоваться свойством пропорции. Либо можно выразить $x$ напрямую из уравнения. Для этого поменяем местами $x$ и 32:
$x = -\frac{16}{32}$

Теперь сократим полученную дробь. Разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 16:
$x = -\frac{16 \div 16}{32 \div 16} = -\frac{1}{2}$

Переведем обыкновенную дробь в десятичную для сравнения с вариантами ответа:
$x = -0,5$

Среди предложенных вариантов этот результат соответствует варианту под номером 1).

Ответ: -0,5

3. На рисунке 9 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-3; 6]$.

Пользуясь графиком, найдите:

1) $f(2)$ и $f(0)$;

2) значения $x$, при которых $f(x) = 1$;

3) область значений функции.

Рис. 9

1) f(2) и f(0)

Чтобы найти значение функции по графику для конкретного значения аргумента, необходимо найти это значение на оси абсцисс ($Ox$), затем найти соответствующую ему точку на графике и определить ее ординату (координату по оси $Oy$).

Для нахождения $f(2)$ находим на оси $Ox$ значение $x=2$. Проводим перпендикуляр к оси $Ox$ до пересечения с графиком. Из точки пересечения проводим перпендикуляр к оси $Oy$. Получаем значение $y = -1$. Таким образом, $f(2) = -1$.

Для нахождения $f(0)$ находим на оси $Ox$ значение $x=0$ (это точка пересечения осей). График пересекает ось $Oy$ в точке с ординатой $y = 3$. Таким образом, $f(0) = 3$.

Ответ: $f(2) = -1$; $f(0) = 3$.

2) значения x, при которых f(x) = 1

Чтобы найти значения $x$, при которых $f(x) = 1$, нужно найти абсциссы всех точек графика, ордината которых равна 1. Для этого проведем горизонтальную прямую $y = 1$ и найдем точки ее пересечения с графиком функции.

Прямая $y = 1$ пересекает график в двух точках.

Абсцисса первой точки пересечения равна $-3$.

Абсцисса второй точки пересечения равна $1$.

Следовательно, равенство $f(x) = 1$ выполняется при $x = -3$ и $x = 1$.

Ответ: $x = -3$, $x = 1$.

3) область значений функции

Область значений функции – это множество всех значений, которые принимает переменная $y$. Чтобы найти ее по графику, нужно спроецировать весь график на ось ординат ($Oy$). Это будет отрезок между наименьшим и наибольшим значениями функции.

Находим на графике самую низкую точку. Ее ордината (значение $y$) равна $-2$. Это наименьшее значение функции.

Находим на графике самую высокую точку. Ее ордината (значение $y$) равна $4$. Это наибольшее значение функции.

Таким образом, функция принимает все значения от $-2$ до $4$ включительно. Область значений функции – это отрезок $[-2; 4]$.

Ответ: $[-2; 4]$.

4. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \sqrt{x + 5} + \frac{1}{x^2 - 25}$;

2) $f(x) = \frac{\sqrt{7 - x}}{\sqrt{x + 3}} + \frac{1}{x^2 - 7x}$.

1) Для функции $f(x) = \sqrt{x+5} + \frac{1}{x^2 - 25}$ область определения (ОДЗ) находится из двух условий, которые должны выполняться одновременно:

• Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x+5 \ge 0$.
• Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x^2 - 25 \ne 0$.

Запишем эти условия в виде системы и решим ее:

$\begin{cases} x+5 \ge 0 \\ x^2-25 \ne 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем:

$x \ge -5$

Второе условие можно разложить по формуле разности квадратов:

$(x-5)(x+5) \ne 0$

Это означает, что $x-5 \ne 0$ и $x+5 \ne 0$, то есть $x \ne 5$ и $x \ne -5$.

Теперь объединим все условия: $x \ge -5$, $x \ne 5$ и $x \ne -5$. Условия $x \ge -5$ и $x \ne -5$ вместе дают строгое неравенство $x > -5$. Дополнительно нужно учесть, что $x \ne 5$.

Таким образом, область определения функции — это все числа от -5 до +$\infty$, за исключением точек -5 и 5. В виде интервалов это записывается как объединение $(-5, 5)$ и $(5, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-5; 5) \cup (5; +\infty)$.

2) Для функции $f(x) = \frac{\sqrt{7-x}}{\sqrt{x+3}} + \frac{1}{x^2 - 7x}$ область определения находится из следующих условий:

• Выражение под корнем в числителе должно быть неотрицательным: $7-x \ge 0$.
• Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным (поскольку деление на ноль недопустимо): $x+3 > 0$.
• Знаменатель второй дроби не должен быть равен нулю: $x^2 - 7x \ne 0$.

Запишем эти условия в виде системы:

$\begin{cases} 7-x \ge 0 \\ x+3 > 0 \\ x^2-7x \ne 0 \end{cases}$

Решим каждое условие по отдельности:

1. $7-x \ge 0 \implies -x \ge -7 \implies x \le 7$.

2. $x+3 > 0 \implies x > -3$.

3. $x^2 - 7x \ne 0 \implies x(x-7) \ne 0$, что означает $x \ne 0$ и $x \ne 7$.

Теперь найдем пересечение всех полученных условий. Из первых двух следует, что $x$ находится в полуинтервале $(-3, 7]$. Из этого промежутка необходимо исключить точки, которые не удовлетворяют третьему условию, то есть $x=0$ и $x=7$.

Исключаем $x=0$: интервал $(-3, 7]$ разбивается на два: $(-3, 0) \cup (0, 7]$.

Исключаем $x=7$: полуинтервал $(0, 7]$ превращается в открытый интервал $(0, 7)$.

В результате получаем объединение двух интервалов.

Ответ: $x \in (-3; 0) \cup (0; 7)$.

5. Постройте график функции$f(x) = \frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 5x + 4}$

Чтобы построить график функции $f(x) = \frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 5x + 4}$, сначала найдём её область определения.

Функция определена для всех значений $x$, при которых знаменатель не равен нулю. Найдём значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, решив уравнение:

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Корни этого квадратного уравнения можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Следовательно, корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x=1$ и $x=4$.

На всей области определения функции, где $x \neq 1$ и $x \neq 4$, выражение можно сократить, так как числитель и знаменатель равны:

$f(x) = 1$.

Это означает, что график функции представляет собой горизонтальную прямую $y=1$. Однако, поскольку функция не определена в точках $x=1$ и $x=4$, на этой прямой будут две "выколотые" точки.

Координаты этих выколотых точек: точка с абсциссой $x=1$ и ординатой $y=1$, то есть $(1; 1)$, и точка с абсциссой $x=4$ и ординатой $y=1$, то есть $(4; 1)$.

Таким образом, искомый график — это прямая $y=1$, из которой удалены две точки.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=1$ с выколотыми точками $(1; 1)$ и $(4; 1)$.