Страница 22 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Множеством решений какого из данных неравенств является пустое множество?

1) $\frac{x^2}{x^2+9} \ge 0$

2) $\frac{x^2-9}{x^2-9} \ge 1$

3) $\frac{x^2}{x^2+9} \le 0$

4) $\frac{x^2+9}{x^2+9} > 1$

Проанализируем каждое из предложенных неравенств для определения того, чьё множество решений является пустым.

1) $\frac{x^2}{x^2 + 9} \ge 0$

Числитель дроби $x^2$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$). Знаменатель $x^2 + 9$ всегда положителен, так как $x^2 \ge 0$ влечёт $x^2 + 9 \ge 9$. Отношение неотрицательного числа к положительному всегда неотрицательно. Таким образом, неравенство верно для любого действительного $x$. Множество решений — $(-\infty; +\infty)$, оно не является пустым.

2) $\frac{x^2 - 9}{x^2 - 9} \ge 1$

Область допустимых значений (ОДЗ) неравенства определяется условием $x^2 - 9 \ne 0$, то есть $x \ne \pm 3$. Для всех $x$ из ОДЗ левая часть неравенства равна 1, и мы получаем верное тождество $1 \ge 1$. Следовательно, решением является любое число из ОДЗ. Множество решений $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$ не является пустым.

3) $\frac{x^2}{x^2 + 9} \le 0$

Как показано в пункте 1, дробь $\frac{x^2}{x^2 + 9}$ всегда неотрицательна. Следовательно, неравенство может выполняться только при условии равенства дроби нулю. Это происходит, когда числитель равен нулю: $x^2 = 0$, то есть $x = 0$. Неравенство имеет единственное решение. Множество решений $\{0\}$ не является пустым.

4) $\frac{x^2 + 9}{x^2 + 9} > 1$

Знаменатель $x^2 + 9$ не равен нулю ни при каких действительных $x$. Левая часть неравенства определена для всех $x$ и тождественно равна 1. Неравенство принимает вид $1 > 1$, что является ложным утверждением. Следовательно, данное неравенство не имеет решений, и его множество решений является пустым.

Ответ: 4

2. Укажите рисунок, на котором изображено множество решений неравенства $-5(x - 1) \ge -3x - 7$.

1) Изображен числовой луч с закрашенной точкой $-6$ и штриховкой влево.

2) Изображен числовой луч с закрашенной точкой $-6$ и штриховкой вправо.

3) Изображен числовой луч с закрашенной точкой $6$ и штриховкой влево.

4) Изображен числовой луч с закрашенной точкой $6$ и штриховкой вправо.

Чтобы найти множество решений неравенства, решим его шаг за шагом.

Исходное неравенство:
$-5(x - 1) \ge -3x - 7$

1. Раскроем скобки в левой части, умножив $-5$ на каждый член в скобках:
$-5x + 5 \ge -3x - 7$

2. Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а постоянные члены — в правой. Для этого перенесем $-3x$ влево со знаком плюс, а $5$ вправо со знаком минус:
$-5x + 3x \ge -7 - 5$

3. Приведем подобные слагаемые в обеих частях неравенства:
$-2x \ge -12$

4. Разделим обе части неравенства на $-2$. Важно помнить, что при умножении или делении неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный (знак $\ge$ меняется на $\le$):
$x \le \frac{-12}{-2}$
$x \le 6$

Полученное решение $x \le 6$ означает, что подходят все числа, которые меньше или равны 6. На числовой прямой это изображается в виде закрашенной точки на отметке 6 (поскольку неравенство нестрогое) и штриховкой влево от этой точки.

Среди предложенных вариантов этому условию соответствует рисунок под номером 3.

Ответ: 3

3. Решите неравенство:

1) $ \left(\frac{x+4}{x-4}\right)^2 \ge 0; $

2) $ \frac{x+3}{14} - \frac{x-4}{4} \le 1; $

3) $ (x-3)^2 - (x+6)^2 < 9. $

1) Решим неравенство $(\frac{x+4}{x-4})^2 \ge 0$.

Выражение в левой части неравенства представляет собой квадрат. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю). Следовательно, неравенство выполняется для всех значений $x$, при которых выражение имеет смысл.

Дробь имеет смысл, когда её знаменатель не равен нулю.

Найдём область допустимых значений (ОДЗ):
$x - 4 \neq 0$
$x \neq 4$

Таким образом, решением неравенства являются все действительные числа, кроме $x = 4$. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

2) Решим неравенство $\frac{x+3}{14} - \frac{x-4}{4} \le 1$.

Это линейное неравенство. Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 14 и 4, которое равно 28. Так как 28 — положительное число, знак неравенства не изменится.

$28 \cdot \left(\frac{x+3}{14} - \frac{x-4}{4}\right) \le 28 \cdot 1$
$\frac{28(x+3)}{14} - \frac{28(x-4)}{4} \le 28$
$2(x+3) - 7(x-4) \le 28$

Раскроем скобки:
$2x + 6 - 7x + 28 \le 28$

Приведём подобные слагаемые в левой части:
$-5x + 34 \le 28$

Перенесём 34 в правую часть с противоположным знаком:
$-5x \le 28 - 34$
$-5x \le -6$

Разделим обе части на -5. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x \ge \frac{-6}{-5}$
$x \ge \frac{6}{5}$
$x \ge 1.2$

Ответ: $x \in [1.2; +\infty)$.

3) Решим неравенство $(x-3)^2 - (x+6)^2 < 9$.

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x-3$ и $b = x+6$.

$((x-3) - (x+6))((x-3) + (x+6)) < 9$

Упростим выражения в каждой скобке:
$(x-3-x-6)(x-3+x+6) < 9$
$(-9)(2x+3) < 9$

Разделим обе части неравенства на -9. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$2x+3 > \frac{9}{-9}$
$2x+3 > -1$

Перенесём 3 в правую часть:
$2x > -1 - 3$
$2x > -4$

Разделим обе части на 2:
$x > -2$

Ответ: $x \in (-2; +\infty)$.

4. При каких значениях $a$ уравнение $x^2 + 7x + 2 + 3a = 0$ не имеет корней?

Данное уравнение является квадратным уравнением вида $Ax^2 + Bx + C = 0$. Уравнение не имеет действительных корней, когда его дискриминант $D$ отрицателен, то есть $D < 0$.

В уравнении $x^2 + 7x + 2 + 3a = 0$ коэффициенты следующие:

$A = 1$

$B = 7$

$C = 2 + 3a$

Вычислим дискриминант по формуле $D = B^2 - 4AC$:

$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 + 3a) = 49 - 4(2 + 3a) = 49 - 8 - 12a = 41 - 12a$.

Теперь решим неравенство $D < 0$ относительно переменной $a$:

$41 - 12a < 0$

Перенесем $12a$ в правую часть неравенства:

$41 < 12a$

Разделим обе части на 12 (знак неравенства не меняется, так как 12 > 0):

$\frac{41}{12} < a$

Или, что то же самое:

$a > \frac{41}{12}$

Это означает, что уравнение не имеет корней при всех значениях $a$, больших $\frac{41}{12}$.

Ответ: $a > \frac{41}{12}$