Страница 15 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какие из данных утверждений верны:

a) если $a > 5$ и $b > 3$, то $a + b > 8$;

б) если $a > 5$ и $b > 3$, то $ab > 15$;

в) если $a > 5$ и $b > 3$, то $a - b > 2?

1) только а

2) только б

3) только а и б

4) а, б и в

Проверим каждое из утверждений, используя данные условия $a > 5$ и $b > 3$.

а) если $a > 5$ и $b > 3$, то $a + b > 8$
Это утверждение верно. Согласно свойству числовых неравенств, можно почленно складывать неравенства одного знака. Сложим неравенства $a > 5$ и $b > 3$:
$a + b > 5 + 3$
$a + b > 8$
Следовательно, утверждение верно.
Ответ: верно.

б) если $a > 5$ и $b > 3$, то $ab > 15$
Это утверждение верно. Из условий следует, что $a$ и $b$ — положительные числа. Согласно свойству числовых неравенств, можно почленно перемножать неравенства одного знака, если их левые и правые части положительны. Перемножим неравенства $a > 5$ и $b > 3$:
$a \cdot b > 5 \cdot 3$
$ab > 15$
Следовательно, утверждение верно.
Ответ: верно.

в) если $a > 5$ и $b > 3$, то $a - b > 2$
Это утверждение неверно. Нельзя почленно вычитать неравенства одного знака. Для опровержения достаточно привести контрпример. Возьмем значения $a$ и $b$, удовлетворяющие условиям, при которых утверждение не выполняется.
Например, пусть $a = 6$ (что больше 5) и $b = 4$ (что больше 3).
Тогда их разность $a - b = 6 - 4 = 2$.
Неравенство $a - b > 2$ превращается в $2 > 2$, что является ложным.
Другой контрпример: пусть $a=5.5$ и $b=5$. Условия $5.5 > 5$ и $5 > 3$ выполнены. Но $a - b = 5.5 - 5 = 0.5$, а $0.5 > 2$ — неверно.
Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: неверно.

Таким образом, верными являются только утверждения а и б. Это соответствует варианту ответа под номером 3.
Ответ: 3.

2. Известно, что $3 < x < 4$ и $2 < y < 5$. Оцените значение выражения $xy$.

1) $5 < xy < 9$

2) $6 < xy < 20$

3) $7 < xy < 18$

4) $10 < xy < 18$

По условию задачи даны два двойных неравенства для переменных $x$ и $y$:

$3 < x < 4$

$2 < y < 5$

Нам нужно оценить значение выражения $xy$.

Так как все части данных неравенств являются положительными числами (поскольку $x > 3$ и $y > 2$), мы можем выполнить почленное умножение этих неравенств. Это свойство неравенств гласит, что если $a < x < b$ и $c < y < d$, где $a, b, c, d$ — положительные числа, то $a \cdot c < x \cdot y < b \cdot d$.

Чтобы найти нижнюю границу для произведения $xy$, мы должны перемножить нижние границы для $x$ и $y$:

$3 \cdot 2 = 6$

Чтобы найти верхнюю границу для произведения $xy$, мы должны перемножить верхние границы для $x$ и $y$:

$4 \cdot 5 = 20$

Объединив эти результаты, мы получаем оценку для выражения $xy$:

$6 < xy < 20$

Среди предложенных вариантов ответа этот результат соответствует варианту под номером 2.

Ответ: 2) $6 < xy < 20$

3. Оцените периметр $P$ правильного пятиугольника со стороной $a$ см, если $0,6 < a < 1,2$.

Периметр $P$ правильного многоугольника с $n$ сторонами и длиной стороны $a$ вычисляется по формуле $P = n \cdot a$.

Для правильного пятиугольника число сторон $n = 5$. Таким образом, его периметр равен $P = 5a$.

Из условия задачи известно, что длина стороны $a$ находится в следующих границах:

$0,6 < a < 1,2$

Чтобы найти границы для периметра $P$, необходимо умножить все части данного двойного неравенства на 5, так как $P = 5a$.

$5 \cdot 0,6 < 5 \cdot a < 5 \cdot 1,2$

Выполнив умножение, получаем:

$3 < 5a < 6$

Подставляя $P$ вместо $5a$, получаем итоговую оценку для периметра:

$3 < P < 6$

Таким образом, периметр $P$ правильного пятиугольника находится в интервале от 3 см до 6 см.

Ответ: $3 < P < 6$.

4. Известно, что $-14 < a < 21$. Оцените значение выражения $\frac{1}{7}a - 2$.

Чтобы оценить значение выражения $\frac{1}{7}a - 2$, необходимо выполнить последовательные преобразования с исходным неравенством $-14 < a < 21$.

1. Сначала умножим все части неравенства на $\frac{1}{7}$. Так как $\frac{1}{7}$ — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$-14 \cdot \frac{1}{7} < a \cdot \frac{1}{7} < 21 \cdot \frac{1}{7}$

Выполнив умножение, получаем:

$-2 < \frac{1}{7}a < 3$

2. Теперь вычтем 2 из всех частей полученного неравенства:

$-2 - 2 < \frac{1}{7}a - 2 < 3 - 2$

Выполнив вычитание, получаем окончательную оценку выражения:

$-4 < \frac{1}{7}a - 2 < 1$

Ответ: $-4 < \frac{1}{7}a - 2 < 1$.

5. Дано: $5 < m < 10$ и $4 < n < 7$. Оцените значение выражения:

1) $2m - 3n$;

2) $\frac{n}{m}$.

1) $2m - 3n$

Нам даны два неравенства: $5 < m < 10$ и $4 < n < 7$.
Чтобы оценить выражение $2m - 3n$, необходимо сначала оценить значение $2m$ и $-3n$.
1. Оценим значение $2m$. Для этого умножим все части неравенства $5 < m < 10$ на положительное число 2. Знак неравенства при этом не изменится:
$2 \cdot 5 < 2 \cdot m < 2 \cdot 10$
$10 < 2m < 20$
2. Оценим значение $-3n$. Сначала умножим все части неравенства $4 < n < 7$ на 3:
$3 \cdot 4 < 3 \cdot n < 3 \cdot 7$
$12 < 3n < 21$
Теперь умножим полученное неравенство на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-21 < -3n < -12$
3. Теперь выполним почленное сложение полученных неравенств для $2m$ и $-3n$:
$10 < 2m < 20$
$+\begin{smallmatrix} \\ \end{smallmatrix}$
$-21 < -3n < -12$
___________________
$10 + (-21) < 2m + (-3n) < 20 + (-12)$
$-11 < 2m - 3n < 8$
Ответ: $-11 < 2m - 3n < 8$

2) $\frac{n}{m}$

Чтобы оценить значение частного $\frac{n}{m}$, представим его в виде произведения $n \cdot \frac{1}{m}$ и оценим каждый множитель.
У нас есть неравенство для $n$: $4 < n < 7$.
1. Оценим значение $\frac{1}{m}$. Нам дано неравенство $5 < m < 10$. Так как все части этого неравенства положительны, мы можем взять обратные величины, изменив при этом знаки неравенства на противоположные:
$\frac{1}{10} < \frac{1}{m} < \frac{1}{5}$
2. Теперь почленно перемножим неравенства для $n$ и $\frac{1}{m}$. Так как все части обоих неравенств положительны, мы можем это сделать:
$4 < n < 7$
$\times\begin{smallmatrix} \\ \end{smallmatrix}$
$\frac{1}{10} < \frac{1}{m} < \frac{1}{5}$
___________________
$4 \cdot \frac{1}{10} < n \cdot \frac{1}{m} < 7 \cdot \frac{1}{5}$
$\frac{4}{10} < \frac{n}{m} < \frac{7}{5}$
Преобразуем дроби в десятичные для удобства:
$0.4 < \frac{n}{m} < 1.4$
Ответ: $0.4 < \frac{n}{m} < 1.4$