Страница 12 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какое из приведённых неравенств является верным при любых значениях $a$ и $b$, удовлетворяющих условию $a < b$?

1) $a - b < -2$

2) $a - b > 0$

3) $b - a > -2$

4) $b - a > 1$

Проанализируем каждое из предложенных неравенств, исходя из основного условия $a < b$. Наша задача — найти неравенство, которое будет верным для любых значений $a$ и $b$, удовлетворяющих этому условию.

1) $a - b < -2$

Из условия $a < b$ следует, что разность $a - b$ всегда отрицательна ($a - b < 0$). Однако это не гарантирует, что она всегда будет меньше $-2$. Чтобы доказать, что это утверждение неверно, достаточно привести один контрпример.
Пусть $a = 1$ и $b = 2$. Условие $a < b$ выполняется, так как $1 < 2$.
Подставим эти значения в неравенство: $a - b = 1 - 2 = -1$.
Неравенство $-1 < -2$ является ложным.
Ответ: неверно.

2) $a - b > 0$

Преобразуем исходное условие $a < b$. Вычтем $b$ из обеих частей неравенства:
$a - b < b - b$
$a - b < 0$
Это означает, что разность $a - b$ всегда должна быть отрицательной. Утверждение $a - b > 0$ прямо противоречит этому выводу.
Ответ: неверно.

3) $b - a > -2$

Снова обратимся к исходному условию $a < b$. Вычтем $a$ из обеих частей неравенства:
$a - a < b - a$
$0 < b - a$, что эквивалентно $b - a > 0$.
Это означает, что разность $b - a$ всегда является положительным числом. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. Так как $-2$ — отрицательное число, то любое положительное число $b - a$ будет больше $-2$.
Таким образом, это неравенство является верным для любых $a$ и $b$, удовлетворяющих условию $a < b$.
Ответ: верно.

4) $b - a > 1$

Как мы показали в предыдущем пункте, из условия $a < b$ следует, что $b - a > 0$. Но это не означает, что эта разность всегда больше $1$. Приведем контрпример.
Пусть $a = 0.5$ и $b = 1$. Условие $a < b$ выполняется, так как $0.5 < 1$.
Подставим эти значения в неравенство: $b - a = 1 - 0.5 = 0.5$.
Неравенство $0.5 > 1$ является ложным.
Ответ: неверно.

2. О числах $x$ и $y$ известно, что $x > y$. Какое из следующих неравенств неверно?

1) $x - 20 > y - 20$

2) $\frac{x}{24} > \frac{y}{24}$

3) $-\frac{x}{10} > -\frac{y}{10}$

4) $x + 14 > y + 14$

По условию задачи дано, что $x > y$. Необходимо проверить каждое из предложенных неравенств, используя свойства числовых неравенств, и найти неверное.

1) $x - 20 > y - 20$

Это неравенство получено из исходного $x > y$ путем вычитания числа 20 из обеих его частей. Согласно свойству неравенств, если из обеих частей верного неравенства вычесть одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Следовательно, данное неравенство является верным.

Ответ: верно.

2) $\frac{x}{24} > \frac{y}{24}$

Это неравенство получено из исходного $x > y$ путем деления обеих его частей на положительное число 24. Согласно свойству неравенств, если обе части верного неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Поскольку $24 > 0$, данное неравенство является верным.

Ответ: верно.

3) $-\frac{x}{10} > -\frac{y}{10}$

Это неравенство можно получить из исходного $x > y$, разделив обе части на -10. Согласно свойству неравенств, при делении (или умножении) обеих частей верного неравенства на одно и то же отрицательное число, знак неравенства должен измениться на противоположный (с «больше» на «меньше»).
Таким образом, из $x > y$ следует, что $\frac{x}{-10} < \frac{y}{-10}$, что равносильно $-\frac{x}{10} < -\frac{y}{10}$.
Следовательно, предложенное неравенство $-\frac{x}{10} > -\frac{y}{10}$ является неверным.

Ответ: неверно.

4) $x + 14 > y + 14$

Это неравенство получено из исходного $x > y$ путем прибавления числа 14 к обеим его частям. Согласно свойству неравенств, если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Следовательно, данное неравенство является верным.

Ответ: верно.

Вопрос задачи — указать неверное неравенство. Проанализировав все варианты, мы установили, что неверным является неравенство под номером 3.

Ответ: 3

3. На координатной прямой отмечено число $a$ (рис. 2).

Расположите в порядке возрастания числа $a$, $a^2$ и $-a$.

Рис. 2

Из рисунка видно, что число $a$ находится на координатной прямой между 0 и 1. Это означает, что $a$ является положительным числом, меньшим единицы. Математически это можно записать в виде двойного неравенства: $0 < a < 1$.

Нам необходимо расположить в порядке возрастания числа $a$, $a^2$ и $-a$. Для этого сравним их между собой.

1. Так как $a$ — положительное число ($a > 0$), то $-a$ — отрицательное число ($-a < 0$). Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $a$ и $a^2$ будут больше, чем $-a$. Следовательно, $-a$ является наименьшим из трех чисел.

2. Теперь сравним $a$ и $a^2$. Поскольку $0 < a < 1$, мы можем умножить все части этого двойного неравенства на $a$. Так как $a$ — положительное число, знаки неравенства при умножении сохранятся:

$0 \cdot a < a \cdot a < 1 \cdot a$

$0 < a^2 < a$

Из этого неравенства следует, что $a^2$ меньше, чем $a$.

3. Объединим полученные результаты. Мы установили, что $-a$ — самое маленькое число, а из двух оставшихся чисел $a^2$ меньше, чем $a$. Таким образом, расположив числа в порядке возрастания, мы получаем следующую последовательность: $-a$, $a^2$, $a$.

Для наглядности можно взять конкретное значение, например, $a = 0,5$. Тогда:

• $a = 0,5$
• $a^2 = (0,5)^2 = 0,25$
• $-a = -0,5$

Расположив эти значения в порядке возрастания, получаем: $-0,5; 0,25; 0,5$, что соответствует последовательности $-a, a^2, a$.

Ответ: $-a, a^2, a$

4. Известно, что $b > 8$. Сравните с нулём значение выражения:

1) $b - 7$;

2) $5 - b$;

3) $(b - 6)(8 - b)$.

1) b – 7;

Поскольку по условию дано, что $b > 8$, мы можем выполнить преобразование этого неравенства, чтобы получить выражение $b - 7$. Для этого вычтем 7 из обеих частей неравенства:

$b - 7 > 8 - 7$

$b - 7 > 1$

Так как $1 > 0$, то и значение выражения $b - 7$ больше нуля.

Ответ: $b - 7 > 0$.

2) 5 – b;

Возьмем исходное неравенство $b > 8$. Чтобы получить выражение $5 - b$, сначала умножим обе части на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$-1 \cdot b < -1 \cdot 8$

$-b < -8$

Теперь прибавим 5 к обеим частям полученного неравенства:

$5 - b < 5 - 8$

$5 - b < -3$

Так как $-3 < 0$, то и значение выражения $5 - b$ меньше нуля.

Ответ: $5 - b < 0$.

3) (b – 6)(8 – b).

Чтобы определить знак произведения, необходимо определить знак каждого множителя по отдельности.

Определим знак первого множителя $b - 6$.

Из условия $b > 8$ и того, что $8 > 6$, следует, что $b > 6$. Следовательно, разность $b - 6$ будет положительной:

$b - 6 > 0$

Определим знак второго множителя $8 - b$.

Из условия $b > 8$ следует, что если мы из меньшего числа 8 вычтем большее число $b$, результат будет отрицательным:

$8 - b < 0$

Произведение положительного числа $(b - 6)$ и отрицательного числа $(8 - b)$ является отрицательным числом.

Ответ: $(b - 6)(8 - b) < 0$.

5. Докажите, что при любых значениях переменной верно неравенство:

1) $(a+5)(a-3) > (a-4)(a+6);$

2) $a(a-8) > 2(a-13).$

1)

Чтобы доказать, что неравенство $(a + 5)(a - 3) > (a - 4)(a + 6)$ верно при любых значениях переменной $a$, выполним тождественные преобразования.

Сначала раскроем скобки в обеих частях неравенства.

Левая часть: $(a + 5)(a - 3) = a^2 - 3a + 5a - 15 = a^2 + 2a - 15$.

Правая часть: $(a - 4)(a + 6) = a^2 + 6a - 4a - 24 = a^2 + 2a - 24$.

Теперь подставим полученные многочлены в исходное неравенство:

$a^2 + 2a - 15 > a^2 + 2a - 24$

Перенесём все члены из правой части в левую, меняя их знаки на противоположные:

$a^2 + 2a - 15 - a^2 - 2a + 24 > 0$

Приведём подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (2a - 2a) + (-15 + 24) > 0$

$0 + 0 + 9 > 0$

$9 > 0$

В результате преобразований мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной $a$. Это означает, что исходное неравенство также является верным при любом значении $a$.

Ответ: Неравенство доказано.

2)

Чтобы доказать, что неравенство $a(a - 8) > 2(a - 13)$ верно при любых значениях переменной $a$, выполним преобразования.

Раскроем скобки в обеих частях:

$a^2 - 8a > 2a - 26$

Перенесём все члены в левую часть неравенства:

$a^2 - 8a - 2a + 26 > 0$

Приведём подобные слагаемые:

$a^2 - 10a + 26 > 0$

Для доказательства этого неравенства выделим в его левой части полный квадрат. Используем формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$a^2 - 10a + 26 = (a^2 - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2) - 5^2 + 26 = (a^2 - 10a + 25) + 1$

Свернём выражение в скобках в полный квадрат:

$(a - 5)^2 + 1$

Таким образом, наше неравенство принимает вид:

$(a - 5)^2 + 1 > 0$

Проанализируем левую часть. Выражение $(a - 5)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда больше либо равно нулю при любом значении $a$: $(a - 5)^2 \ge 0$.

Если к неотрицательному числу прибавить 1, результат всегда будет положительным:

$(a - 5)^2 + 1 \ge 0 + 1$, то есть $(a - 5)^2 + 1 \ge 1$.

Поскольку $1 > 0$, то и выражение $(a - 5)^2 + 1$ всегда строго больше нуля. Следовательно, исходное неравенство верно при любых значениях переменной $a$.

Ответ: Неравенство доказано.