Страница 17 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какие из данных утверждений верны:

а) если $a > 6$ и $b > 8$, то $a + b > 12$;

б) если $a < 6$ и $b > 8$, то $\frac{a}{b} < 0,75$;

в) если $a < 6$ и $b > 8$, то $a - b < -2$?

1) только а

2) только а и б

3) только б и в

4) а, б и в

Для определения верных утверждений проанализируем каждое из них.

а) если a > 6 и b > 8, то a + b > 12

Нам даны два строгих неравенства одного знака ($a > 6$ и $b > 8$). Согласно свойству числовых неравенств, мы можем их почленно сложить: $a + b > 6 + 8$. В результате сложения получаем неравенство $a + b > 14$. Поскольку $14 > 12$, то из того, что $a + b > 14$, очевидно следует, что $a + b > 12$. Таким образом, утверждение а является верным.

б) если a < 6 и b > 8, то a/b < 0,75

Нам необходимо проверить, следует ли из условий $a < 6$ и $b > 8$ неравенство $\frac{a}{b} < 0,75$. Представим $0,75$ в виде обыкновенной дроби: $0,75 = \frac{3}{4}$. Неравенство примет вид: $\frac{a}{b} < \frac{3}{4}$. Рассмотрим неравенство $b > 8$. Так как $\frac{3}{4}$ — положительное число, мы можем умножить обе части неравенства на него, сохранив знак: $\frac{3}{4} \cdot b > \frac{3}{4} \cdot 8$, что дает $\frac{3}{4}b > 6$. Теперь у нас есть два факта: $a < 6$ и $6 < \frac{3}{4}b$. По свойству транзитивности неравенств, отсюда следует, что $a < \frac{3}{4}b$. Поскольку из условия $b > 8$ следует, что $b$ — положительное число, мы можем разделить обе части неравенства $a < \frac{3}{4}b$ на $b$, сохранив знак неравенства: $\frac{a}{b} < \frac{3}{4}$, или $\frac{a}{b} < 0,75$. Таким образом, утверждение б является верным.

в) если a < 6 и b > 8, то a - b < -2?

Нам даны неравенства $a < 6$ и $b > 8$. Для того чтобы оценить разность $a - b$, мы можем представить ее как сумму $a + (-b)$. Нам нужно получить неравенство для $-b$. Для этого умножим обе части неравенства $b > 8$ на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $-b < -8$. Теперь мы можем сложить два неравенства одного знака: $a < 6$ и $-b < -8$. $a + (-b) < 6 + (-8)$ $a - b < -2$. Таким образом, утверждение в является верным.

Мы установили, что все три утверждения (а, б и в) верны. Следовательно, правильным является вариант ответа, который включает все три утверждения.

Ответ: 4.

2. Известно, что $12 < x < 15$ и $4 < y < 6$. Оцените значение выражения $x - y$.

1) $6 < x - y < 11$

2) $8 < x - y < 9$

3) $9 < x - y < 10$

4) $7 < x - y < 10$

Нам даны два неравенства:

1) $12 < x < 15$

2) $4 < y < 6$

Требуется найти интервал, в котором лежит значение выражения $x - y$.

Чтобы найти разность $x - y$, мы можем преобразовать второе неравенство для переменной $-y$ и затем сложить его с первым неравенством.

Возьмем неравенство для $y$: $4 < y < 6$.

Умножим все части этого неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-1 \cdot 4 > -1 \cdot y > -1 \cdot 6$

$-4 > -y > -6$

Для удобства дальнейших вычислений запишем это неравенство в порядке возрастания, поменяв местами левую и правую части:

$-6 < -y < -4$

Теперь мы можем почленно сложить два неравенства одинакового знака:

$12 < x < 15$

$-6 < -y < -4$

Складываем левые части, средние части и правые части соответственно:

$12 + (-6) < x + (-y) < 15 + (-4)$

Упрощаем полученное выражение:

$12 - 6 < x - y < 15 - 4$

$6 < x - y < 11$

Таким образом, значение выражения $x - y$ находится в интервале от 6 до 11. Сравнивая этот результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту 1.

Ответ: 1

3. Оцените площадь S правильного треугольника со стороной $a$ см, если $2 < a < 4$.

Площадь S правильного (равностороннего) треугольника со стороной a вычисляется по формуле:

$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

По условию задачи, сторона треугольника a удовлетворяет двойному неравенству:

$2 < a < 4$

Так как функция $f(a) = a^2$ является возрастающей для положительных значений a, мы можем возвести в квадрат все части неравенства, сохранив его знаки:

$2^2 < a^2 < 4^2$

$4 < a^2 < 16$

Теперь умножим все части полученного неравенства на постоянный положительный множитель $\frac{\sqrt{3}}{4}$. Знак неравенства при этом не изменится:

$4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} < a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} < 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$

Упростив выражение и заменив среднюю часть на S, получим искомую оценку для площади:

$\sqrt{3} < S < 4\sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3} < S < 4\sqrt{3}$

4. Известно, что $-6 < a < 9$. Оцените значение выражения $7 - \frac{1}{3}a$.

Для того чтобы оценить значение выражения $7 - \frac{1}{3}a$, необходимо выполнить последовательные преобразования с исходным неравенством $-6 < a < 9$.

1. Умножим все части неравенства на $-\frac{1}{3}$. Важно помнить, что при умножении неравенства на отрицательное число, знаки неравенства меняются на противоположные.

$(-6) \cdot (-\frac{1}{3}) > a \cdot (-\frac{1}{3}) > 9 \cdot (-\frac{1}{3})$

Выполним вычисления:

$\frac{6}{3} > -\frac{1}{3}a > -\frac{9}{3}$

$2 > -\frac{1}{3}a > -3$

2. Перепишем полученное двойное неравенство в привычном виде, расположив числа в порядке возрастания (от меньшего к большему):

$-3 < -\frac{1}{3}a < 2$

3. Теперь прибавим число 7 ко всем частям этого неравенства, чтобы получить искомое выражение $7 - \frac{1}{3}a$.

$-3 + 7 < 7 - \frac{1}{3}a < 2 + 7$

Снова выполним вычисления:

$4 < 7 - \frac{1}{3}a < 9$

Таким образом, значение выражения $7 - \frac{1}{3}a$ строго больше 4 и строго меньше 9.

Ответ: $4 < 7 - \frac{1}{3}a < 9$

5. Дано: $4 < a < 6$ и $5 < b < 20$. Оцените значение выражения:

1) $0.2a - 0.3b$;

2) $\frac{a-2}{b}$.

1) 0,2a – 0,3b;

Чтобы оценить значение выражения $0,2a - 0,3b$, необходимо оценить каждое слагаемое по отдельности, используя данные неравенства: $4 < a < 6$ и $5 < b < 20$.

1. Сначала оценим значение $0,2a$. Для этого умножим все части неравенства $4 < a < 6$ на $0,2$. Так как $0,2$ — положительное число, знаки неравенства сохраняются:
$4 \cdot 0,2 < a \cdot 0,2 < 6 \cdot 0,2$
$0,8 < 0,2a < 1,2$

2. Теперь оценим значение $-0,3b$. Сначала найдем границы для $0,3b$, умножив все части неравенства $5 < b < 20$ на $0,3$:
$5 \cdot 0,3 < b \cdot 0,3 < 20 \cdot 0,3$
$1,5 < 0,3b < 6$
Далее, умножим полученное неравенство на $-1$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-1,5 > -0,3b > -6$
Запишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего числа к большему):
$-6 < -0,3b < -1,5$

3. Теперь сложим почленно два полученных неравенства: $0,8 < 0,2a < 1,2$ и $-6 < -0,3b < -1,5$.
$0,8 + (-6) < 0,2a + (-0,3b) < 1,2 + (-1,5)$
$-5,2 < 0,2a - 0,3b < -0,3$

Ответ: $-5,2 < 0,2a - 0,3b < -0,3$

2) $\frac{a-2}{b}$

Для оценки значения дроби необходимо найти границы для ее числителя и знаменателя.

1. Оценим числитель $a-2$. Для этого вычтем $2$ из всех частей исходного неравенства $4 < a < 6$:
$4 - 2 < a - 2 < 6 - 2$
$2 < a - 2 < 4$

2. Знаменатель $b$ находится в границах $5 < b < 20$.

3. Поскольку и числитель ($a-2$), и знаменатель ($b$) всегда положительны в заданных интервалах, вся дробь также будет положительной.
Наименьшее значение дробь принимает, когда ее числитель минимален, а знаменатель максимален.
Наибольшее значение дробь принимает, когда ее числитель максимален, а знаменатель минимален.

Найдем нижнюю границу значения выражения:
$\frac{\text{min}(a-2)}{\text{max}(b)} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} = 0,1$
Найдем верхнюю границу значения выражения:
$\frac{\text{max}(a-2)}{\text{min}(b)} = \frac{4}{5} = 0,8$

Таким образом, значение выражения находится в следующих границах:
$0,1 < \frac{a-2}{b} < 0,8$

Ответ: $0,1 < \frac{a-2}{b} < 0,8$