Страница 18 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какие из данных утверждений верны:

а) если $a > 4$ и $b > 4$, то $ab > 10$;

б) если $a < 12$ и $b > 3$, то $\frac{a}{b} < 4$;

в) если $a > 12$ и $b < 3$, то $a - b > 9$?

1) только а

2) только а и в

3) только б и в

4) а, б и в

Проанализируем каждое утверждение, чтобы определить его истинность.

а) если $a > 4$ и $b > 4$, то $ab > 10$
Нам даны два строгих неравенства: $a > 4$ и $b > 4$. Поскольку все части этих неравенств — положительные числа, мы можем их перемножить. При перемножении неравенств одного знака с положительными частями знак неравенства сохраняется.
$a \cdot b > 4 \cdot 4$
$ab > 16$
Поскольку $16 > 10$, из того, что $ab > 16$, логически следует, что $ab > 10$. Таким образом, данное утверждение верно.

б) если $a < 12$ и $b > 3$, то $\frac{a}{b} < 4$
Рассмотрим неравенства $a < 12$ и $b > 3$. Нам нужно оценить сверху значение дроби $\frac{a}{b}$.
Из условия $b > 3$ следует, что $b$ — положительное число. Мы можем преобразовать это неравенство в неравенство для $\frac{1}{b}$:
$\frac{1}{b} < \frac{1}{3}$
Далее рассмотрим два возможных случая для числителя $a$:
1. Если $a \le 0$, то частное $\frac{a}{b}$ будет отрицательным или равным нулю. Любое такое число меньше 4, следовательно, неравенство $\frac{a}{b} < 4$ выполняется.
2. Если $a > 0$, то мы можем умножить неравенство $\frac{1}{b} < \frac{1}{3}$ на положительное число $a$, сохранив знак неравенства:
$a \cdot \frac{1}{b} < a \cdot \frac{1}{3}$
$\frac{a}{b} < \frac{a}{3}$
Также из условия $a < 12$ следует, что $\frac{a}{3} < \frac{12}{3}$, то есть $\frac{a}{3} < 4$.
Из полученной цепочки неравенств $\frac{a}{b} < \frac{a}{3}$ и $\frac{a}{3} < 4$ следует, что $\frac{a}{b} < 4$.
Таким образом, утверждение верно для всех $a$, удовлетворяющих условию.

в) если $a > 12$ и $b < 3$, то $a - b > 9$
Нам даны неравенства $a > 12$ и $b < 3$. Чтобы оценить снизу разность $a - b$, представим ее как сумму $a + (-b)$.
Преобразуем второе неравенство. Умножим обе его части на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$(-1) \cdot b > (-1) \cdot 3$
$-b > -3$
Теперь мы можем сложить два неравенства одного знака ($>$):
$a > 12$
$-b > -3$
Складывая их, получаем:
$a + (-b) > 12 + (-3)$
$a - b > 9$
Следовательно, данное утверждение верно.

Мы установили, что все три утверждения — а), б) и в) — верны. Следовательно, правильным вариантом ответа из предложенных является тот, который включает все три утверждения.
Ответ: 4

2. Известно, что $10 < x < 18$ и $3 < y < 8$. Оцените значение выражения $x - y$.

1) $7 < x - y < 10$ 3) $14 < x - y < 20$

2) $2 < x - y < 15$ 4) $1 < x - y < 14$

Для того чтобы оценить значение выражения $x-y$, воспользуемся данными нам неравенствами:

$10 < x < 18$

$3 < y < 8$

Чтобы найти границы для разности $x - y$, мы можем представить ее как сумму $x + (-y)$. Для этого нам нужно сначала получить неравенство для $-y$.

Возьмем неравенство для $y$:

$3 < y < 8$

Умножим все его части на $-1$. Важно помнить, что при умножении неравенства на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$3 \cdot (-1) > y \cdot (-1) > 8 \cdot (-1)$

$-3 > -y > -8$

Для удобства дальнейших вычислений запишем это неравенство в стандартном виде, от меньшего числа к большему:

$-8 < -y < -3$

Теперь у нас есть два неравенства одного знака, которые мы можем почленно сложить:

$10 < x < 18$

$-8 < -y < -3$

Сложим левые, средние и правые части неравенств соответственно:

$10 + (-8) < x + (-y) < 18 + (-3)$

Выполним вычисления:

$2 < x - y < 15$

Таким образом, значение выражения $x-y$ строго больше 2 и строго меньше 15. Этот результат соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: 2) $2 < x - y < 15$

3. Оцените площадь $S$ круга радиуса $r$ см, если $3 < r < 5$.

Площадь круга $S$ вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ – это радиус круга.

Согласно условию задачи, значение радиуса $r$ находится в интервале $3 < r < 5$.

Поскольку радиус $r$ является положительной величиной, мы можем возвести в квадрат все части данного неравенства. Знак неравенства при этом не изменится:

$3^2 < r^2 < 5^2$

Выполнив вычисления, получим:

$9 < r^2 < 25$

Теперь умножим все части этого неравенства на число $\pi$ (которое является положительной константой, $\pi > 0$). Знак неравенства снова останется без изменений:

$9 \cdot \pi < r^2 \cdot \pi < 25 \cdot \pi$

Заменив выражение $\pi r^2$ на $S$, мы получим итоговую оценку для площади круга:

$9\pi < S < 25\pi$

Ответ: $9\pi < S < 25\pi$

4. Известно, что $-33 < a < 22$. Оцените значение выражения $1 - \frac{1}{11}a$.

Для того чтобы оценить значение выражения $1 - \frac{1}{11}a$, необходимо выполнить последовательные преобразования с исходным двойным неравенством.

1. Начнем с данного нам неравенства:

$-33 < a < 22$

2. Умножим все части неравенства на $-\frac{1}{11}$. Важно помнить, что при умножении неравенства на отрицательное число, знаки неравенства меняются на противоположные ( $<$ на $>$, и $>$ на $<$ ).

$-33 \cdot (-\frac{1}{11}) > a \cdot (-\frac{1}{11}) > 22 \cdot (-\frac{1}{11})$

3. Выполним вычисления в левой и правой частях:

$\frac{33}{11} > -\frac{1}{11}a > -\frac{22}{11}$

$3 > -\frac{1}{11}a > -2$

4. Для удобства восприятия запишем неравенство в порядке возрастания, от меньшего числа к большему:

$-2 < -\frac{1}{11}a < 3$

5. Теперь, чтобы получить искомое выражение $1 - \frac{1}{11}a$, прибавим 1 ко всем частям полученного неравенства:

$-2 + 1 < 1 - \frac{1}{11}a < 3 + 1$

6. Выполним сложение:

$-1 < 1 - \frac{1}{11}a < 4$

Таким образом, значение выражения $1 - \frac{1}{11}a$ находится в интервале от -1 до 4.

Ответ: $-1 < 1 - \frac{1}{11}a < 4$

5. Дано: $6 < a < 8$ и $9 < b < 15$. Оцените значение выражения:

1) $0,5a - 0,2b$;

2) $\frac{a}{b-5}$.

1) 0,5a – 0,2b;

Нам даны неравенства: $6 < a < 8$ и $9 < b < 15$.

Сначала оценим значение выражения $0,5a$. Для этого умножим все части неравенства $6 < a < 8$ на 0,5. Так как 0,5 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$6 \cdot 0,5 < a \cdot 0,5 < 8 \cdot 0,5$

$3 < 0,5a < 4$

Теперь оценим значение выражения $0,2b$. Для этого умножим все части неравенства $9 < b < 15$ на 0,2. Так как 0,2 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$9 \cdot 0,2 < b \cdot 0,2 < 15 \cdot 0,2$

$1,8 < 0,2b < 3$

Чтобы оценить разность $0,5a - 0,2b$, представим ее в виде суммы $0,5a + (-0,2b)$. Для этого найдем границы для выражения $-0,2b$. Умножим неравенство $1,8 < 0,2b < 3$ на -1, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:

$-3 < -0,2b < -1,8$

Теперь сложим почленно полученные неравенства $3 < 0,5a < 4$ и $-3 < -0,2b < -1,8$:

$3 + (-3) < 0,5a + (-0,2b) < 4 + (-1,8)$

Выполняем сложение:

$0 < 0,5a - 0,2b < 2,2$

Ответ: $0 < 0,5a - 0,2b < 2,2$.

2) $\frac{a}{b-5}$.

Нам даны неравенства: $6 < a < 8$ и $9 < b < 15$.

Сначала оценим значение знаменателя $b-5$. Для этого вычтем 5 из всех частей неравенства $9 < b < 15$:

$9 - 5 < b - 5 < 15 - 5$

$4 < b - 5 < 10$

Теперь у нас есть два неравенства для числителя и знаменателя:

$6 < a < 8$

$4 < b - 5 < 10$

Так как и числитель ($a$), и знаменатель ($b-5$) принимают только положительные значения, для оценки дроби $\frac{a}{b-5}$ нужно наименьшее значение числителя разделить на наибольшее значение знаменателя (чтобы получить нижнюю границу) и наибольшее значение числителя разделить на наименьшее значение знаменателя (чтобы получить верхнюю границу).

$\frac{\text{наим.} a}{\text{наиб.} (b-5)} < \frac{a}{b-5} < \frac{\text{наиб.} a}{\text{наим.} (b-5)}$

Подставляем значения:

$\frac{6}{10} < \frac{a}{b-5} < \frac{8}{4}$

$0,6 < \frac{a}{b-5} < 2$

Ответ: $0,6 < \frac{a}{b-5} < 2$.