Номер 1, страница 18, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какие из данных утверждений верны:

а) если $a > 4$ и $b > 4$, то $ab > 10$;

б) если $a < 12$ и $b > 3$, то $\frac{a}{b} < 4$;

в) если $a > 12$ и $b < 3$, то $a - b > 9$?

1) только а

2) только а и в

3) только б и в

4) а, б и в

Проанализируем каждое утверждение, чтобы определить его истинность.

а) если $a > 4$ и $b > 4$, то $ab > 10$
Нам даны два строгих неравенства: $a > 4$ и $b > 4$. Поскольку все части этих неравенств — положительные числа, мы можем их перемножить. При перемножении неравенств одного знака с положительными частями знак неравенства сохраняется.
$a \cdot b > 4 \cdot 4$
$ab > 16$
Поскольку $16 > 10$, из того, что $ab > 16$, логически следует, что $ab > 10$. Таким образом, данное утверждение верно.

б) если $a < 12$ и $b > 3$, то $\frac{a}{b} < 4$
Рассмотрим неравенства $a < 12$ и $b > 3$. Нам нужно оценить сверху значение дроби $\frac{a}{b}$.
Из условия $b > 3$ следует, что $b$ — положительное число. Мы можем преобразовать это неравенство в неравенство для $\frac{1}{b}$:
$\frac{1}{b} < \frac{1}{3}$
Далее рассмотрим два возможных случая для числителя $a$:
1. Если $a \le 0$, то частное $\frac{a}{b}$ будет отрицательным или равным нулю. Любое такое число меньше 4, следовательно, неравенство $\frac{a}{b} < 4$ выполняется.
2. Если $a > 0$, то мы можем умножить неравенство $\frac{1}{b} < \frac{1}{3}$ на положительное число $a$, сохранив знак неравенства:
$a \cdot \frac{1}{b} < a \cdot \frac{1}{3}$
$\frac{a}{b} < \frac{a}{3}$
Также из условия $a < 12$ следует, что $\frac{a}{3} < \frac{12}{3}$, то есть $\frac{a}{3} < 4$.
Из полученной цепочки неравенств $\frac{a}{b} < \frac{a}{3}$ и $\frac{a}{3} < 4$ следует, что $\frac{a}{b} < 4$.
Таким образом, утверждение верно для всех $a$, удовлетворяющих условию.

в) если $a > 12$ и $b < 3$, то $a - b > 9$
Нам даны неравенства $a > 12$ и $b < 3$. Чтобы оценить снизу разность $a - b$, представим ее как сумму $a + (-b)$.
Преобразуем второе неравенство. Умножим обе его части на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$(-1) \cdot b > (-1) \cdot 3$
$-b > -3$
Теперь мы можем сложить два неравенства одного знака ($>$):
$a > 12$
$-b > -3$
Складывая их, получаем:
$a + (-b) > 12 + (-3)$
$a - b > 9$
Следовательно, данное утверждение верно.

Мы установили, что все три утверждения — а), б) и в) — верны. Следовательно, правильным вариантом ответа из предложенных является тот, который включает все три утверждения.
Ответ: 4