Номер 3, страница 19, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Решите неравенство:

1) $6x - 5 > 2x + 19;$

2) $(x - 2)(x - 3) < (x - 4)(x + 4);$

3) $\frac{x+3}{2} - \frac{x-4}{7} \le 1.$

1) $6x - 5 > 2x + 19$

Это линейное неравенство. Для его решения сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а постоянные члены — в правой.

$6x - 2x > 19 + 5$

Приведем подобные слагаемые:

$4x > 24$

Разделим обе части неравенства на 4. Так как 4 — положительное число, знак неравенства не меняется.

$x > \frac{24}{4}$

$x > 6$

Решение можно записать в виде интервала: $(6; +\infty)$.

Ответ: $x > 6$.

2) $(x - 2)(x - 3) < (x - 4)(x + 4)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства. В правой части используем формулу разности квадратов.

$x^2 - 3x - 2x + 6 < x^2 - 4^2$

$x^2 - 5x + 6 < x^2 - 16$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые. Члены с $x^2$ взаимно уничтожатся.

$x^2 - 5x + 6 - x^2 + 16 < 0$

$-5x + 22 < 0$

Перенесем 22 в правую часть, изменив знак.

$-5x < -22$

Разделим обе части неравенства на -5. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$x > \frac{-22}{-5}$

$x > \frac{22}{5}$

Решение можно записать в виде $x > 4.4$ или интервалом $(\frac{22}{5}; +\infty)$.

Ответ: $x > \frac{22}{5}$.

3) $\frac{x + 3}{2} - \frac{x - 4}{7} \le 1$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен $НОК(2, 7) = 14$.

$14 \cdot \frac{x + 3}{2} - 14 \cdot \frac{x - 4}{7} \le 14 \cdot 1$

$7(x + 3) - 2(x - 4) \le 14$

Раскроем скобки:

$7x + 21 - 2x + 8 \le 14$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$5x + 29 \le 14$

Перенесем 29 в правую часть:

$5x \le 14 - 29$

$5x \le -15$

Разделим обе части на 5:

$x \le \frac{-15}{5}$

$x \le -3$

Решение можно записать в виде интервала $(-\infty; -3]$.

Ответ: $x \le -3$.