Номер 1, страница 21, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Множеством решений какого из данных неравенств является множество действительных чисел?

1) $\frac{x^2 + 4}{x^2} \ge 0$

2) $\frac{x^2 - 4}{x^2 - 4} \le 1$

3) $\frac{x^2 + 4}{x^2 + 4} \le 1$

4) $\frac{x^2 - 4}{x^2 - 4} > 0$

Для того чтобы множеством решений неравенства было множество всех действительных чисел, неравенство должно выполняться для любого действительного значения переменной $x$. Проверим каждое из предложенных неравенств.

1) $\frac{x^2 + 4}{x^2} \ge 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) этого неравенства определяется условием $x^2 \neq 0$, то есть $x \neq 0$. При любом $x$ из ОДЗ, числитель $x^2 + 4$ всегда положителен (так как $x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 + 4 \ge 4$) и знаменатель $x^2$ также всегда положителен. Частное двух положительных чисел всегда положительно, поэтому неравенство $\frac{x^2 + 4}{x^2} > 0$ выполняется для всех $x \neq 0$. Множество решений не включает $x=0$, следовательно, это не множество всех действительных чисел.

Ответ: $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

2) $\frac{x^2 - 4}{x^2 - 4} \le 1$

ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq 4 \Rightarrow x \neq \pm 2$. Для всех $x$ из ОДЗ выражение $\frac{x^2 - 4}{x^2 - 4}$ равно 1. Неравенство принимает вид $1 \le 1$, что является верным утверждением. Решением являются все числа из ОДЗ. Поскольку $x=2$ и $x=-2$ не входят в решение, это не множество всех действительных чисел.

Ответ: $(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)$.

3) $\frac{x^2 + 4}{x^2 + 4} \le 1$

ОДЗ: знаменатель $x^2 + 4$ не должен быть равен нулю. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 4 \ge 4$, следовательно, знаменатель никогда не равен нулю. ОДЗ — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$). Для любого действительного $x$ выражение $\frac{x^2 + 4}{x^2 + 4}$ равно 1. Неравенство принимает вид $1 \le 1$, что является верным утверждением для любого $x$. Следовательно, множеством решений является множество всех действительных чисел.

Ответ: $(-\infty, +\infty)$.

4) $\frac{x^2 - 4}{x^2 - 4} > 0$

ОДЗ: $x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2$. Для всех $x$ из ОДЗ выражение $\frac{x^2 - 4}{x^2 - 4}$ равно 1. Неравенство принимает вид $1 > 0$, что является верным утверждением. Решением являются все числа из ОДЗ. Поскольку $x=2$ и $x=-2$ не входят в решение, это не множество всех действительных чисел.

Ответ: $(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)$.