Номер 3, страница 22, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Решите неравенство:

1) $ \left(\frac{x+4}{x-4}\right)^2 \ge 0; $

2) $ \frac{x+3}{14} - \frac{x-4}{4} \le 1; $

3) $ (x-3)^2 - (x+6)^2 < 9. $

1) Решим неравенство $(\frac{x+4}{x-4})^2 \ge 0$.

Выражение в левой части неравенства представляет собой квадрат. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю). Следовательно, неравенство выполняется для всех значений $x$, при которых выражение имеет смысл.

Дробь имеет смысл, когда её знаменатель не равен нулю.

Найдём область допустимых значений (ОДЗ):
$x - 4 \neq 0$
$x \neq 4$

Таким образом, решением неравенства являются все действительные числа, кроме $x = 4$. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

2) Решим неравенство $\frac{x+3}{14} - \frac{x-4}{4} \le 1$.

Это линейное неравенство. Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 14 и 4, которое равно 28. Так как 28 — положительное число, знак неравенства не изменится.

$28 \cdot \left(\frac{x+3}{14} - \frac{x-4}{4}\right) \le 28 \cdot 1$
$\frac{28(x+3)}{14} - \frac{28(x-4)}{4} \le 28$
$2(x+3) - 7(x-4) \le 28$

Раскроем скобки:
$2x + 6 - 7x + 28 \le 28$

Приведём подобные слагаемые в левой части:
$-5x + 34 \le 28$

Перенесём 34 в правую часть с противоположным знаком:
$-5x \le 28 - 34$
$-5x \le -6$

Разделим обе части на -5. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x \ge \frac{-6}{-5}$
$x \ge \frac{6}{5}$
$x \ge 1.2$

Ответ: $x \in [1.2; +\infty)$.

3) Решим неравенство $(x-3)^2 - (x+6)^2 < 9$.

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x-3$ и $b = x+6$.

$((x-3) - (x+6))((x-3) + (x+6)) < 9$

Упростим выражения в каждой скобке:
$(x-3-x-6)(x-3+x+6) < 9$
$(-9)(2x+3) < 9$

Разделим обе части неравенства на -9. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$2x+3 > \frac{9}{-9}$
$2x+3 > -1$

Перенесём 3 в правую часть:
$2x > -1 - 3$
$2x > -4$

Разделим обе части на 2:
$x > -2$

Ответ: $x \in (-2; +\infty)$.