Номер 3, страница 21, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Решите неравенство:

1) $(\frac{x+3}{x-3})^2 \ge 0;$

2) $\frac{2x-3}{6} - \frac{x-8}{9} \le 1;$

3) $(x-2)^2 - (x-7)^2 > 15.$

1) Решить неравенство $(\frac{x+3}{x-3})^2 \ge 0$.

Левая часть неравенства представляет собой квадрат выражения. Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным числом, то есть большим или равным нулю. Следовательно, данное неравенство выполняется для всех значений $x$, при которых выражение в левой части имеет смысл.

Дробное выражение не имеет смысла, когда его знаменатель равен нулю. Найдем это значение $x$:

$x - 3 \ne 0$

$x \ne 3$

Таким образом, мы должны исключить только значение $x=3$ из множества всех действительных чисел. При $x=-3$ числитель равен нулю, и все выражение равно $0$, что удовлетворяет условию $0 \ge 0$. При всех остальных $x \ne 3$, выражение в скобках не равно нулю, и его квадрат будет строго больше нуля.

Следовательно, решением неравенства является любое действительное число, кроме 3.

Ответ: $x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2) Решить неравенство $\frac{2x-3}{6} - \frac{x-8}{9} \le 1$.

Для решения этого линейного неравенства сначала избавимся от дробей. Для этого найдем наименьший общий знаменатель чисел 6 и 9. НОК(6, 9) = 18.

Умножим обе части неравенства на 18. Так как 18 — положительное число, знак неравенства не изменится.

$18 \cdot \left(\frac{2x-3}{6} - \frac{x-8}{9}\right) \le 1 \cdot 18$

$18 \cdot \frac{2x-3}{6} - 18 \cdot \frac{x-8}{9} \le 18$

$3(2x-3) - 2(x-8) \le 18$

Раскроем скобки:

$6x - 9 - 2x + 16 \le 18$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$4x + 7 \le 18$

Перенесем 7 в правую часть неравенства с противоположным знаком:

$4x \le 18 - 7$

$4x \le 11$

Разделим обе части на 4:

$x \le \frac{11}{4}$

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{11}{4}]$.

3) Решить неравенство $(x-2)^2 - (x-7)^2 > 15$.

Левая часть неравенства представляет собой разность квадратов. Применим формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В нашем случае $a = x-2$ и $b = x-7$.

$((x-2) - (x-7))((x-2) + (x-7)) > 15$

Упростим выражения в каждой скобке:

Первая скобка: $(x-2-x+7) = 5$

Вторая скобка: $(x-2+x-7) = 2x-9$

Получаем неравенство:

$5(2x-9) > 15$

Разделим обе части неравенства на 5. Так как 5 — положительное число, знак неравенства не изменится.

$2x-9 > 3$

Перенесем -9 в правую часть с противоположным знаком:

$2x > 3 + 9$

$2x > 12$

Разделим обе части на 2:

$x > 6$

Ответ: $x \in (6; +\infty)$.