Номер 1, страница 22, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Множеством решений какого из данных неравенств является пустое множество?

1) $\frac{x^2}{x^2+9} \ge 0$

2) $\frac{x^2-9}{x^2-9} \ge 1$

3) $\frac{x^2}{x^2+9} \le 0$

4) $\frac{x^2+9}{x^2+9} > 1$

Проанализируем каждое из предложенных неравенств для определения того, чьё множество решений является пустым.

1) $\frac{x^2}{x^2 + 9} \ge 0$

Числитель дроби $x^2$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$). Знаменатель $x^2 + 9$ всегда положителен, так как $x^2 \ge 0$ влечёт $x^2 + 9 \ge 9$. Отношение неотрицательного числа к положительному всегда неотрицательно. Таким образом, неравенство верно для любого действительного $x$. Множество решений — $(-\infty; +\infty)$, оно не является пустым.

2) $\frac{x^2 - 9}{x^2 - 9} \ge 1$

Область допустимых значений (ОДЗ) неравенства определяется условием $x^2 - 9 \ne 0$, то есть $x \ne \pm 3$. Для всех $x$ из ОДЗ левая часть неравенства равна 1, и мы получаем верное тождество $1 \ge 1$. Следовательно, решением является любое число из ОДЗ. Множество решений $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$ не является пустым.

3) $\frac{x^2}{x^2 + 9} \le 0$

Как показано в пункте 1, дробь $\frac{x^2}{x^2 + 9}$ всегда неотрицательна. Следовательно, неравенство может выполняться только при условии равенства дроби нулю. Это происходит, когда числитель равен нулю: $x^2 = 0$, то есть $x = 0$. Неравенство имеет единственное решение. Множество решений $\{0\}$ не является пустым.

4) $\frac{x^2 + 9}{x^2 + 9} > 1$

Знаменатель $x^2 + 9$ не равен нулю ни при каких действительных $x$. Левая часть неравенства определена для всех $x$ и тождественно равна 1. Неравенство принимает вид $1 > 1$, что является ложным утверждением. Следовательно, данное неравенство не имеет решений, и его множество решений является пустым.

Ответ: 4