Номер 3, страница 20, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Решите неравенство:

1) $7x + 1 < 4x - 17;$

2) $(x + 3)(x - 4) > (x - 5)(x + 5);$

3) $\frac{x + 9}{2} - \frac{x + 10}{5} \geq 1.$

1) $7x + 1 < 4x - 17$

Это линейное неравенство. Для его решения перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а постоянные члены — в правую часть, меняя знак при переносе:

$7x - 4x < -17 - 1$

Упростим обе части неравенства, приведя подобные слагаемые:

$3x < -18$

Разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на 3. Поскольку 3 — положительное число, знак неравенства сохраняется:

$x < \frac{-18}{3}$

$x < -6$

Решением неравенства является числовой промежуток от минус бесконечности до -6, не включая -6.

Ответ: $x \in (-\infty; -6)$.

2) $(x + 3)(x - 4) > (x - 5)(x + 5)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства. В правой части воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 4x + 3x - 12 > x^2 - 25$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$x^2 - x - 12 > x^2 - 25$

Перенесем все члены с $x^2$ в левую часть. Они взаимно уничтожаются:

$x^2 - x^2 - x > -25 + 12$

$-x > -13$

Умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 13$

Решением неравенства является числовой промежуток от минус бесконечности до 13, не включая 13.

Ответ: $x \in (-\infty; 13)$.

3) $\frac{x+9}{2} - \frac{x+10}{5} \ge 1$

Это неравенство с дробями. Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, который равен 10. Так как 10 — положительное число, знак неравенства не изменится:

$10 \cdot \left(\frac{x+9}{2} - \frac{x+10}{5}\right) \ge 10 \cdot 1$

$10 \cdot \frac{x+9}{2} - 10 \cdot \frac{x+10}{5} \ge 10$

$5(x+9) - 2(x+10) \ge 10$

Раскроем скобки:

$5x + 45 - 2x - 20 \ge 10$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3x + 25 \ge 10$

Перенесем число 25 в правую часть с противоположным знаком:

$3x \ge 10 - 25$

$3x \ge -15$

Разделим обе части неравенства на 3. Знак неравенства не меняется:

$x \ge \frac{-15}{3}$

$x \ge -5$

Решением неравенства является числовой промежуток от -5 до плюс бесконечности, включая -5.

Ответ: $x \in [-5; +\infty)$.