Страница 20 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какое из приведённых чисел является решением неравенства $3x < 2x - 4$?

1) -4 2) -4,1 3) -3,9 4) -3

Чтобы найти, какое из предложенных чисел является решением неравенства, сначала решим само неравенство, чтобы определить множество всех его решений.

Исходное неравенство:

$3x < 2x - 4$

Перенесём слагаемое $2x$ из правой части в левую, изменив его знак на противоположный:

$3x - 2x < -4$

Приведём подобные слагаемые в левой части неравенства:

$x < -4$

Решением неравенства являются все числа, которые строго меньше $-4$. Теперь проверим, какое из предложенных чисел удовлетворяет этому условию.

1) -4

Проверяем условие $x < -4$: $-4 < -4$. Это неверно, так как $-4$ равно $-4$. Следовательно, это число не является решением.

2) -4,1

Проверяем условие $x < -4$: $-4,1 < -4$. Это верно. Следовательно, это число является решением.

3) -3,9

Проверяем условие $x < -4$: $-3,9 < -4$. Это неверно, так как $-3,9$ больше $-4$. Следовательно, это число не является решением.

4) -3

Проверяем условие $x < -4$: $-3 < -4$. Это неверно, так как $-3$ больше $-4$. Следовательно, это число не является решением.

Таким образом, единственное число из приведённых, которое является решением неравенства, это $-4,1$.

Ответ: $-4,1$

2. Укажите рисунок, на котором изображено множество решений неравенства $ -6x \leq -12 $.

1) 2

2) 2

3) -2

4) -2

Чтобы найти множество решений неравенства $-6x \le -12$, необходимо изолировать переменную $x$.

Разделим обе части неравенства на $-6$. Согласно правилам решения неравенств, при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный. В нашем случае знак «меньше или равно» ($\le$) меняется на «больше или равно» ($\ge$).

$-6x \le -12$

$\frac{-6x}{-6} \ge \frac{-12}{-6}$

$x \ge 2$

Полученное решение $x \ge 2$ означает, что подходят все числа, которые больше или равны 2. На числовой прямой это изображается в виде закрашенной точки в позиции 2 (поскольку неравенство нестрогое, включающее само число 2) и штриховки, уходящей от этой точки вправо (в сторону положительной бесконечности).

Теперь сравним это с предложенными на рисунках вариантами:

1) На рисунке изображен промежуток $(-\infty; 2]$, что соответствует неравенству $x \le 2$. Этот вариант не является верным.

2) На рисунке изображен промежуток $[2; +\infty)$, что соответствует неравенству $x \ge 2$. Этот вариант является верным.

3) На рисунке изображен промежуток $(-\infty; -2]$, что соответствует неравенству $x \le -2$. Этот вариант не является верным.

4) На рисунке изображен промежуток $[-2; +\infty)$, что соответствует неравенству $x \ge -2$. Этот вариант не является верным.

Таким образом, правильный рисунок представлен под номером 2.

Ответ: 2

3. Решите неравенство:

1) $7x + 1 < 4x - 17;$

2) $(x + 3)(x - 4) > (x - 5)(x + 5);$

3) $\frac{x + 9}{2} - \frac{x + 10}{5} \geq 1.$

1) $7x + 1 < 4x - 17$

Это линейное неравенство. Для его решения перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а постоянные члены — в правую часть, меняя знак при переносе:

$7x - 4x < -17 - 1$

Упростим обе части неравенства, приведя подобные слагаемые:

$3x < -18$

Разделим обе части неравенства на коэффициент при $x$, то есть на 3. Поскольку 3 — положительное число, знак неравенства сохраняется:

$x < \frac{-18}{3}$

$x < -6$

Решением неравенства является числовой промежуток от минус бесконечности до -6, не включая -6.

Ответ: $x \in (-\infty; -6)$.

2) $(x + 3)(x - 4) > (x - 5)(x + 5)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства. В правой части воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 4x + 3x - 12 > x^2 - 25$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$x^2 - x - 12 > x^2 - 25$

Перенесем все члены с $x^2$ в левую часть. Они взаимно уничтожаются:

$x^2 - x^2 - x > -25 + 12$

$-x > -13$

Умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 13$

Решением неравенства является числовой промежуток от минус бесконечности до 13, не включая 13.

Ответ: $x \in (-\infty; 13)$.

3) $\frac{x+9}{2} - \frac{x+10}{5} \ge 1$

Это неравенство с дробями. Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, который равен 10. Так как 10 — положительное число, знак неравенства не изменится:

$10 \cdot \left(\frac{x+9}{2} - \frac{x+10}{5}\right) \ge 10 \cdot 1$

$10 \cdot \frac{x+9}{2} - 10 \cdot \frac{x+10}{5} \ge 10$

$5(x+9) - 2(x+10) \ge 10$

Раскроем скобки:

$5x + 45 - 2x - 20 \ge 10$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3x + 25 \ge 10$

Перенесем число 25 в правую часть с противоположным знаком:

$3x \ge 10 - 25$

$3x \ge -15$

Разделим обе части неравенства на 3. Знак неравенства не меняется:

$x \ge \frac{-15}{3}$

$x \ge -5$

Решением неравенства является числовой промежуток от -5 до плюс бесконечности, включая -5.

Ответ: $x \in [-5; +\infty)$.

4. При каких значениях $a$ уравнение $x^2 - 10x - 5a = 0$ имеет два различных действительных корня?

Данное уравнение является квадратным уравнением вида $Ax^2 + Bx + C = 0$. Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ строго больше нуля.

В уравнении $x^2 - 10x - 5a = 0$ коэффициенты равны:
$A = 1$
$B = -10$
$C = -5a$

Найдем дискриминант по формуле $D = B^2 - 4AC$:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5a) = 100 + 20a$.

Чтобы уравнение имело два различных действительных корня, должно выполняться условие $D > 0$. Составим и решим неравенство:
$100 + 20a > 0$
$20a > -100$
$a > \frac{-100}{20}$
$a > -5$

Таким образом, уравнение имеет два различных действительных корня при всех значениях $a$, которые больше -5.

Ответ: $a \in (-5; +\infty)$