Страница 13 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какое из приведённых неравенств является верным при любых значениях $a$ и $b$, удовлетворяющих условию $-a > -b$?

1) $a - b > -1$

2) $a - b < -1$

3) $a - b > 1$

4) $a - b < 1$

Для решения задачи необходимо сначала преобразовать исходное неравенство, которому удовлетворяют переменные $a$ и $b$.

Исходное неравенство: $-a > -b$

Умножим обе части этого неравенства на $-1$. По правилам работы с неравенствами, при умножении на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный: $(-a) \cdot (-1) < (-b) \cdot (-1)$

В результате получаем: $a < b$

Теперь нам нужно определить, какое из предложенных неравенств будет всегда верным, если известно, что $a < b$. Все предложенные варианты содержат выражение $a - b$. Преобразуем неравенство $a < b$, чтобы получить это выражение. Для этого вычтем $b$ из обеих частей неравенства: $a - b < b - b$ $a - b < 0$

Таким образом, мы установили, что разность $a - b$ всегда является отрицательным числом. Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов ответа.

1) $a - b > -1$
Это неравенство не всегда является верным. Мы можем подобрать такие значения $a$ и $b$, которые удовлетворяют условию $a < b$, но для которых это неравенство не выполняется. Например, пусть $a = 1$ и $b = 3$. Условие $1 < 3$ истинно. Вычислим $a - b = 1 - 3 = -2$. Неравенство $-2 > -1$ является ложным.

2) $a - b < -1$
Это неравенство также не всегда является верным. Например, пусть $a = 1$ и $b = 1.5$. Условие $1 < 1.5$ истинно. Вычислим $a - b = 1 - 1.5 = -0.5$. Неравенство $-0.5 < -1$ является ложным.

3) $a - b > 1$
Это неравенство всегда является ложным. Мы установили, что $a - b < 0$, то есть $a - b$ — это отрицательное число. Отрицательное число никогда не может быть больше положительного числа $1$.

4) $a - b < 1$
Это неравенство всегда является верным. Мы знаем, что $a - b < 0$. Любое число, которое меньше нуля (то есть любое отрицательное число), всегда меньше, чем положительное число $1$. Следовательно, если $a - b < 0$, то неравенство $a - b < 1$ будет выполняться всегда.

Ответ: 4

2. На координатной прямой отмечены числа $m$ и $n$ (рис. 3). Какое из следующих неравенств неверно?

1) $\frac{m}{8} < \frac{n}{8}$

2) $-m < -n$

3) $m + 9 > n + 9$

4) $m - 12 > n - 12$

Рис. 3

На координатной прямой точка $m$ находится правее точки $n$. Это означает, что значение $m$ больше значения $n$. Запишем это в виде неравенства:

$m > n$

Теперь проверим каждое из предложенных неравенств, основываясь на том, что $m > n$.

1) $\frac{m}{8} < \frac{n}{8}$

Возьмем исходное верное неравенство $m > n$. Согласно свойствам неравенств, если обе части верного неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Разделим обе части на 8: $\frac{m}{8} > \frac{n}{8}$
Полученное неравенство противоречит неравенству, данному в этом пункте. Следовательно, неравенство $\frac{m}{8} < \frac{n}{8}$ неверно.
Ответ: неверно.

2) $-m < -n$

Возьмем исходное верное неравенство $m > n$. Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный. Умножим обе части на -1: $m \cdot (-1) < n \cdot (-1)$ $-m < -n$
Полученное неравенство совпадает с неравенством, данным в этом пункте. Следовательно, неравенство $-m < -n$ верно.
Ответ: верно.

3) $m + 9 > n + 9$

Возьмем исходное верное неравенство $m > n$. Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Прибавим к обеим частям 9: $m + 9 > n + 9$
Полученное неравенство совпадает с неравенством, данным в этом пункте. Следовательно, неравенство $m + 9 > n + 9$ верно.
Ответ: верно.

4) $m - 12 > n - 12$

Возьмем исходное верное неравенство $m > n$. Если из обеих частей верного неравенства вычесть одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Вычтем из обеих частей 12: $m - 12 > n - 12$
Полученное неравенство совпадает с неравенством, данным в этом пункте. Следовательно, неравенство $m - 12 > n - 12$ верно.
Ответ: верно.

По результатам проверки единственным неверным неравенством является неравенство под номером 1.

3. На координатной прямой отмечено число $a$ (рис. 4).

Рис. 4

Расположите в порядке возрастания числа $a - 1$, $-a$ и $-a - 1$.

Для решения задачи проанализируем положение числа $a$ на координатной прямой. Из рисунка видно, что число $a$ находится между числами 1 и 2. Это можно записать в виде двойного неравенства: $1 < a < 2$.

Теперь, используя это неравенство, оценим значение каждого из данных выражений, чтобы сравнить их.

1. Оценим выражение $a - 1$. Вычтем 1 из всех частей исходного неравенства $1 < a < 2$:
$1 - 1 < a - 1 < 2 - 1$
$0 < a - 1 < 1$
Таким образом, значение выражения $a - 1$ — это положительное число, находящееся в интервале от 0 до 1.

2. Оценим выражение $-a$. Умножим все части неравенства $1 < a < 2$ на -1. Важно помнить, что при умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-1 \cdot 1 > -1 \cdot a > -1 \cdot 2$
$-1 > -a > -2$
Запишем это неравенство в более привычном виде (от меньшего к большему):
$-2 < -a < -1$
Следовательно, значение выражения $-a$ — это отрицательное число, находящееся в интервале от -2 до -1.

3. Оценим выражение $-a - 1$. Воспользуемся уже полученным неравенством для $-a$: $-2 < -a < -1$. Вычтем 1 из всех его частей:
$-2 - 1 < -a - 1 < -1 - 1$
$-3 < -a - 1 < -2$
Следовательно, значение выражения $-a - 1$ — это отрицательное число, находящееся в интервале от -3 до -2.

Теперь мы можем сравнить полученные значения. У нас есть число из интервала $(-3, -2)$, число из интервала $(-2, -1)$ и число из интервала $(0, 1)$. Располагая эти интервалы на числовой прямой, очевидно, что наименьшим будет число из интервала $(-3, -2)$, затем — из интервала $(-2, -1)$, и наибольшим — из интервала $(0, 1)$.

Таким образом, искомый порядок возрастания чисел: $-a - 1$, $-a$, $a - 1$.

Ответ: $-a - 1, -a, a - 1$.

4. Известно, что $-3 < a < 2$. Сравните с нулём значение выражения:

1) $4 - a$;

2) $(a - 2)(a + 4)$;

3) $(a + 3)(3 - a)(a - 5)$.

1) 4 – a

По условию известно, что $-3 < a < 2$. Чтобы оценить выражение $4 - a$, сначала умножим исходное неравенство на $-1$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-2 < -a < 3$.
Теперь прибавим 4 ко всем частям полученного неравенства:
$4 - 2 < 4 - a < 4 + 3$
$2 < 4 - a < 7$.
Так как значение выражения $4 - a$ находится в интервале от 2 до 7, оно всегда больше нуля.
Ответ: $4 - a > 0$.

2) (a – 2)(a + 4)

Чтобы определить знак этого произведения, оценим знак каждого множителя в отдельности, используя условие $-3 < a < 2$.
Оценим первый множитель $(a - 2)$. Вычтем 2 из всех частей неравенства:
$-3 - 2 < a - 2 < 2 - 2$
$-5 < a - 2 < 0$.
Следовательно, множитель $(a - 2)$ всегда отрицательный.
Оценим второй множитель $(a + 4)$. Прибавим 4 ко всем частям неравенства:
$-3 + 4 < a + 4 < 2 + 4$
$1 < a + 4 < 6$.
Следовательно, множитель $(a + 4)$ всегда положительный.
Произведение отрицательного числа $(a-2)$ и положительного числа $(a+4)$ является отрицательным числом.
Ответ: $(a - 2)(a + 4) < 0$.

3) (a + 3)(3 – a)(a – 5)

Оценим знак каждого из трёх множителей, используя условие $-3 < a < 2$.
Для множителя $(a + 3)$:
$-3 + 3 < a + 3 < 2 + 3$
$0 < a + 3 < 5$.
Этот множитель всегда положительный.
Для множителя $(3 - a)$:
Из неравенства $-3 < a < 2$ следует, что $-2 < -a < 3$. Прибавим 3:
$3 - 2 < 3 - a < 3 + 3$
$1 < 3 - a < 6$.
Этот множитель также всегда положительный.
Для множителя $(a - 5)$:
$-3 - 5 < a - 5 < 2 - 5$
$-8 < a - 5 < -3$.
Этот множитель всегда отрицательный.
Произведение двух положительных чисел ($(a + 3)$ и $(3 - a)$) и одного отрицательного ($(a - 5)$) является отрицательным числом.
Ответ: $(a + 3)(3 - a)(a - 5) < 0$.

5. Докажите, что:

1) $a^3 + 27 \ge 3a^2 + 9a$ при $a \ge -3$;

2) $(4 - a)(a + 2) < 2(17 - 4a)$ при всех действительных значениях $a$.

1) Требуется доказать, что $a^3 + 27 \ge 3a^2 + 9a$ при $a \ge -3$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$a^3 - 3a^2 - 9a + 27 \ge 0$

Разложим левую часть на множители методом группировки:

$(a^3 - 3a^2) - (9a - 27) \ge 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a^2(a - 3) - 9(a - 3) \ge 0$

Теперь вынесем общий множитель $(a - 3)$:

$(a^2 - 9)(a - 3) \ge 0$

Множитель $(a^2 - 9)$ является разностью квадратов, которую можно разложить как $(a - 3)(a + 3)$. Подставим это в неравенство:

$(a - 3)(a + 3)(a - 3) \ge 0$

$(a - 3)^2(a + 3) \ge 0$

Проанализируем полученное выражение:

Множитель $(a - 3)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому он всегда неотрицателен, то есть $(a - 3)^2 \ge 0$ для любого значения $a$.

По условию задачи $a \ge -3$. Из этого следует, что множитель $(a + 3)$ также неотрицателен: $a + 3 \ge 0$.

Произведение двух неотрицательных множителей ($(a - 3)^2$ и $(a + 3)$) всегда является неотрицательным числом. Следовательно, неравенство $(a - 3)^2(a + 3) \ge 0$ выполняется для всех $a \ge -3$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Требуется доказать, что $(4 - a)(a + 2) < 2(17 - 4a)$ при всех действительных значениях $a$.

Раскроем скобки в обеих частях неравенства.

Левая часть: $(4 - a)(a + 2) = 4a + 8 - a^2 - 2a = -a^2 + 2a + 8$.

Правая часть: $2(17 - 4a) = 34 - 8a$.

Исходное неравенство принимает вид:

$-a^2 + 2a + 8 < 34 - 8a$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы собрать все слагаемые с одной стороны и получить квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом:

$0 < 34 - 8a + a^2 - 2a - 8$

Приведем подобные слагаемые:

$0 < a^2 - 10a + 26$

Таким образом, задача сводится к доказательству того, что $a^2 - 10a + 26 > 0$ для всех действительных $a$.

Для доказательства этого факта выделим полный квадрат в левой части неравенства:

$a^2 - 10a + 26 = (a^2 - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2) - 5^2 + 26 = (a - 5)^2 - 25 + 26 = (a - 5)^2 + 1$

Неравенство приобретает вид:

$(a - 5)^2 + 1 > 0$

Выражение $(a - 5)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно: $(a - 5)^2 \ge 0$.

Прибавив 1 к неотрицательному значению, мы получим число, которое всегда будет больше или равно 1:

$(a - 5)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$.

Поскольку $1 > 0$, то и $(a - 5)^2 + 1 > 0$ при всех действительных значениях $a$.

Ответ: Что и требовалось доказать.