Номер 4, страница 13, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Известно, что $-3 < a < 2$. Сравните с нулём значение выражения:

1) $4 - a$;

2) $(a - 2)(a + 4)$;

3) $(a + 3)(3 - a)(a - 5)$.

1) 4 – a

По условию известно, что $-3 < a < 2$. Чтобы оценить выражение $4 - a$, сначала умножим исходное неравенство на $-1$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-2 < -a < 3$.
Теперь прибавим 4 ко всем частям полученного неравенства:
$4 - 2 < 4 - a < 4 + 3$
$2 < 4 - a < 7$.
Так как значение выражения $4 - a$ находится в интервале от 2 до 7, оно всегда больше нуля.
Ответ: $4 - a > 0$.

2) (a – 2)(a + 4)

Чтобы определить знак этого произведения, оценим знак каждого множителя в отдельности, используя условие $-3 < a < 2$.
Оценим первый множитель $(a - 2)$. Вычтем 2 из всех частей неравенства:
$-3 - 2 < a - 2 < 2 - 2$
$-5 < a - 2 < 0$.
Следовательно, множитель $(a - 2)$ всегда отрицательный.
Оценим второй множитель $(a + 4)$. Прибавим 4 ко всем частям неравенства:
$-3 + 4 < a + 4 < 2 + 4$
$1 < a + 4 < 6$.
Следовательно, множитель $(a + 4)$ всегда положительный.
Произведение отрицательного числа $(a-2)$ и положительного числа $(a+4)$ является отрицательным числом.
Ответ: $(a - 2)(a + 4) < 0$.

3) (a + 3)(3 – a)(a – 5)

Оценим знак каждого из трёх множителей, используя условие $-3 < a < 2$.
Для множителя $(a + 3)$:
$-3 + 3 < a + 3 < 2 + 3$
$0 < a + 3 < 5$.
Этот множитель всегда положительный.
Для множителя $(3 - a)$:
Из неравенства $-3 < a < 2$ следует, что $-2 < -a < 3$. Прибавим 3:
$3 - 2 < 3 - a < 3 + 3$
$1 < 3 - a < 6$.
Этот множитель также всегда положительный.
Для множителя $(a - 5)$:
$-3 - 5 < a - 5 < 2 - 5$
$-8 < a - 5 < -3$.
Этот множитель всегда отрицательный.
Произведение двух положительных чисел ($(a + 3)$ и $(3 - a)$) и одного отрицательного ($(a - 5)$) является отрицательным числом.
Ответ: $(a + 3)(3 - a)(a - 5) < 0$.