Номер 5, страница 14, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Докажите, что:

1) $a^3 + 125 \ge 5a^2 + 25a$ при $a \ge -5;$

2) $(6 - a)(a + 8) < 3(2a + 25)$ при всех действительных значениях $a$.

Требуется доказать неравенство $a^3 + 125 \ge 5a^2 + 25a$ при условии, что $a \ge -5$.

Для доказательства перенесем все члены неравенства в левую часть и преобразуем полученное выражение:
$a^3 + 125 - 5a^2 - 25a \ge 0$

Сгруппируем слагаемые:
$(a^3 + 125) - (5a^2 + 25a) \ge 0$

Разложим каждую группу на множители. Первую группу разложим по формуле суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$, а во второй вынесем общий множитель $5a$:
$(a + 5)(a^2 - 5a + 25) - 5a(a + 5) \ge 0$

Теперь вынесем общий множитель $(a + 5)$ за скобки:
$(a + 5)((a^2 - 5a + 25) - 5a) \ge 0$
$(a + 5)(a^2 - 10a + 25) \ge 0$

Заметим, что выражение во второй скобке является полным квадратом разности $(a - 5)^2$:
$(a + 5)(a - 5)^2 \ge 0$

Рассмотрим знаки множителей в левой части при условии $a \ge -5$:
1. Множитель $(a - 5)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому он всегда неотрицателен, то есть $(a - 5)^2 \ge 0$ при любом значении $a$.
2. Из условия $a \ge -5$ следует, что множитель $(a + 5)$ также неотрицателен, то есть $a + 5 \ge 0$.
Произведение двух неотрицательных множителей всегда неотрицательно. Таким образом, неравенство $(a + 5)(a - 5)^2 \ge 0$ выполняется для всех $a \ge -5$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Требуется доказать неравенство $(6 - a)(a + 8) < 3(2a + 25)$ при всех действительных значениях $a$.

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:
$6a + 48 - a^2 - 8a < 6a + 75$
$-a^2 - 2a + 48 < 6a + 75$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное неравенство с положительным коэффициентом при $a^2$:
$0 < (6a + 75) - (-a^2 - 2a + 48)$
$0 < 6a + 75 + a^2 + 2a - 48$

Приведем подобные слагаемые:
$0 < a^2 + 8a + 27$
Это неравенство равносильно исходному. Докажем, что $a^2 + 8a + 27 > 0$ для всех действительных $a$.

Для этого выделим полный квадрат в квадратном трехчлене:
$a^2 + 8a + 27 = (a^2 + 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2) - 4^2 + 27 = (a + 4)^2 - 16 + 27 = (a + 4)^2 + 11$

Таким образом, неравенство принимает вид:
$(a + 4)^2 + 11 > 0$

Выражение $(a + 4)^2$ как квадрат любого действительного числа всегда неотрицательно: $(a + 4)^2 \ge 0$.
Следовательно, сумма $(a + 4)^2 + 11$ всегда будет больше или равна 11: $(a + 4)^2 + 11 \ge 11$.
Поскольку $11 > 0$, то и выражение $(a + 4)^2 + 11$ всегда строго положительно для любого действительного значения $a$. Это доказывает справедливость исходного неравенства.

Ответ: Доказано.