Страница 14 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какое из приведённых неравенств является верным при любых значениях $a$ и $b$, удовлетворяющих условию $-a < -b$?

1) $b - a < -2$

2) $b - a > 2$

3) $a - b > -2$

4) $a - b < 2$

Нам дано условие $-a < -b$. Для того чтобы определить, какое из предложенных неравенств является верным, сначала преобразуем исходное неравенство.

Умножим обе части неравенства $-a < -b$ на $-1$. При умножении неравенства на отрицательное число его знак меняется на противоположный:

$(-1) \cdot (-a) > (-1) \cdot (-b)$

$a > b$

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы найти неравенство, которое всегда будет верным при условии, что $a > b$. Из этого неравенства следует, что разность $a - b$ всегда является положительным числом, то есть $a - b > 0$.

Теперь проверим каждый из предложенных вариантов.

1) $b - a < -2$

Из $a > b$ следует, что $b - a < 0$. Утверждение, что $b-a$ всегда меньше $-2$, неверно. Например, если $a=1$ и $b=0$, то условие $1 > 0$ выполняется, но $b-a = 0 - 1 = -1$, а неравенство $-1 < -2$ ложно. Этот вариант неверный.

2) $b - a > 2$

Из $a > b$ следует, что $b - a < 0$. Отрицательное число не может быть больше положительного числа 2, поэтому это неравенство никогда не выполняется. Этот вариант неверный.

3) $a - b > -2$

Мы выяснили, что $a - b > 0$. Любое число, которое больше 0 (любое положительное число), всегда больше любого отрицательного числа, в том числе и $-2$. Следовательно, это неравенство является верным при любых $a$ и $b$, удовлетворяющих исходному условию.

4) $a - b < 2$

Мы знаем, что $a - b > 0$, но это не означает, что эта разность не может быть больше или равна 2. Например, если $a=5$ и $b=1$, то условие $5 > 1$ выполняется, но $a-b=4$, а неравенство $4 < 2$ ложно. Этот вариант неверный.

Таким образом, единственное верное неравенство — это $a - b > -2$.

Ответ: 3

2. На координатной прямой отмечены числа x и y (рис. 5). Какое из следующих неравенств неверно?

1) $x - 6 < y - 6$

2) $x + 8 < y + 8$

3) $-x < -y$

4) $\frac{x}{7} < \frac{y}{7}$

Рис. 5

Из рисунка 5 видно, что на координатной прямой точка x находится левее точки y. Это означает, что число x меньше числа y. Запишем это в виде верного числового неравенства:

$x < y$

Теперь проверим каждое из предложенных неравенств, используя основные свойства числовых неравенств, чтобы найти неверное.

1) $x - 6 < y - 6$

Это неравенство получено из верного неравенства $x < y$ путем вычитания одного и того же числа 6 из обеих его частей. По свойству неравенств, если из обеих частей верного неравенства вычесть одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Следовательно, это неравенство верно.

Ответ: верно.

2) $x + 8 < y + 8$

Это неравенство получено из верного неравенства $x < y$ путем прибавления одного и того же числа 8 к обеим его частям. По свойству неравенств, если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Следовательно, это неравенство верно.

Ответ: верно.

3) $-x < -y$

Это неравенство можно получить из верного неравенства $x < y$ путем умножения обеих его частей на -1. По свойству неравенств, при умножении обеих частей верного неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Таким образом, из $x < y$ должно следовать, что $-x > -y$. Предложенное неравенство $-x < -y$ является неверным.

Ответ: неверно.

4) $\frac{x}{7} < \frac{y}{7}$

Это неравенство получено из верного неравенства $x < y$ путем деления обеих его частей на положительное число 7. По свойству неравенств, при делении обеих частей верного неравенства на положительное число знак неравенства не меняется. Следовательно, это неравенство верно.

Ответ: верно.

Таким образом, единственным неверным неравенством из перечисленных является неравенство под номером 3.

3. На координатной прямой отмечено число $a$ (рис. 6).

Рис. 6

Расположите в порядке возрастания числа $a$, $\frac{1}{a}$ и $a - 1$.

Чтобы расположить числа в порядке возрастания, необходимо проанализировать и сравнить их значения, основываясь на информации из рисунка.

На координатной прямой отмечено число $a$, которое находится между 0 и 1. Это можно записать в виде двойного неравенства: $0 < a < 1$. Теперь оценим каждое из трех выражений: $a$, $\frac{1}{a}$ и $a - 1$.

Оценка числа $a$
Как следует из условия, $a$ — это положительное число, которое меньше 1.

Оценка выражения $a - 1$
Возьмем неравенство $0 < a < 1$ и вычтем 1 из каждой его части:
$0 - 1 < a - 1 < 1 - 1$
$-1 < a - 1 < 0$
Это означает, что выражение $a - 1$ является отрицательным числом.

Оценка выражения $\frac{1}{a}$
Так как $a$ — положительное число ($a > 0$), мы можем разделить неравенство $a < 1$ на $a$, не меняя знака неравенства:
$\frac{a}{a} < \frac{1}{a}$
$1 < \frac{1}{a}$
Это означает, что выражение $\frac{1}{a}$ больше 1.

Теперь у нас есть следующие факты:
- $a - 1$ — отрицательное число.
- $a$ — положительное число, меньшее 1.
- $\frac{1}{a}$ — число, большее 1.

Любое отрицательное число меньше любого положительного. Из двух положительных чисел то, что меньше 1, будет меньше того, что больше 1. Следовательно, расположив числа в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему), мы получим следующую последовательность: $a - 1$, $a$, $\frac{1}{a}$.

Ответ: $a - 1$, $a$, $\frac{1}{a}$.

4. Известно, что $-1 < b < 3$. Сравните с нулём значение выражения:

1) $b - 4$;

2) $(b - 3)(b + 2)$;

3) $(b - 6)(7 - b)(b + 3)$.

1) b – 4;

Используя данное по условию неравенство $ -1 < b < 3 $, оценим значение выражения $ b - 4 $. Для этого вычтем число 4 из всех частей неравенства:
$ -1 - 4 < b - 4 < 3 - 4 $
$ -5 < b - 4 < -1 $
Поскольку значение выражения $ b - 4 $ находится в интервале от -5 до -1, оно всегда отрицательно, то есть меньше нуля.

Ответ: $ b - 4 < 0 $.

2) (b – 3)(b + 2);

Чтобы определить знак произведения, оценим знак каждого множителя отдельно, исходя из условия $ -1 < b < 3 $.
1. Оценим множитель $ (b - 3) $. Вычтем 3 из всех частей неравенства:
$ -1 - 3 < b - 3 < 3 - 3 $
$ -4 < b - 3 < 0 $
Следовательно, множитель $ (b - 3) $ всегда отрицателен.
2. Оценим множитель $ (b + 2) $. Прибавим 2 ко всем частям неравенства:
$ -1 + 2 < b + 2 < 3 + 2 $
$ 1 < b + 2 < 5 $
Следовательно, множитель $ (b + 2) $ всегда положителен.
Произведение отрицательного числа $ (b - 3) $ и положительного числа $ (b + 2) $ всегда является отрицательным числом.

Ответ: $ (b - 3)(b + 2) < 0 $.

3) (b – 6)(7 – b)(b + 3).

Определим знак каждого из трех множителей, используя условие $ -1 < b < 3 $.
1. Оценим множитель $ (b - 6) $. Вычтем 6 из всех частей неравенства:
$ -1 - 6 < b - 6 < 3 - 6 $
$ -7 < b - 6 < -3 $
Таким образом, $ (b - 6) < 0 $ (отрицательный).
2. Оценим множитель $ (7 - b) $. Сначала найдем диапазон для $ -b $. Умножим неравенство $ -1 < b < 3 $ на -1, изменив знаки на противоположные: $ 1 > -b > -3 $, или $ -3 < -b < 1 $. Теперь прибавим 7 ко всем частям:
$ -3 + 7 < 7 - b < 1 + 7 $
$ 4 < 7 - b < 8 $
Таким образом, $ (7 - b) > 0 $ (положительный).
3. Оценим множитель $ (b + 3) $. Прибавим 3 ко всем частям неравенства:
$ -1 + 3 < b + 3 < 3 + 3 $
$ 2 < b + 3 < 6 $
Таким образом, $ (b + 3) > 0 $ (положительный).
Теперь определим знак всего выражения, перемножив знаки множителей: (отрицательный) × (положительный) × (положительный). Результат будет отрицательным.

Ответ: $ (b - 6)(7 - b)(b + 3) < 0 $.

5. Докажите, что:

1) $a^3 + 125 \ge 5a^2 + 25a$ при $a \ge -5;$

2) $(6 - a)(a + 8) < 3(2a + 25)$ при всех действительных значениях $a$.

Требуется доказать неравенство $a^3 + 125 \ge 5a^2 + 25a$ при условии, что $a \ge -5$.

Для доказательства перенесем все члены неравенства в левую часть и преобразуем полученное выражение:
$a^3 + 125 - 5a^2 - 25a \ge 0$

Сгруппируем слагаемые:
$(a^3 + 125) - (5a^2 + 25a) \ge 0$

Разложим каждую группу на множители. Первую группу разложим по формуле суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$, а во второй вынесем общий множитель $5a$:
$(a + 5)(a^2 - 5a + 25) - 5a(a + 5) \ge 0$

Теперь вынесем общий множитель $(a + 5)$ за скобки:
$(a + 5)((a^2 - 5a + 25) - 5a) \ge 0$
$(a + 5)(a^2 - 10a + 25) \ge 0$

Заметим, что выражение во второй скобке является полным квадратом разности $(a - 5)^2$:
$(a + 5)(a - 5)^2 \ge 0$

Рассмотрим знаки множителей в левой части при условии $a \ge -5$:
1. Множитель $(a - 5)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому он всегда неотрицателен, то есть $(a - 5)^2 \ge 0$ при любом значении $a$.
2. Из условия $a \ge -5$ следует, что множитель $(a + 5)$ также неотрицателен, то есть $a + 5 \ge 0$.
Произведение двух неотрицательных множителей всегда неотрицательно. Таким образом, неравенство $(a + 5)(a - 5)^2 \ge 0$ выполняется для всех $a \ge -5$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Требуется доказать неравенство $(6 - a)(a + 8) < 3(2a + 25)$ при всех действительных значениях $a$.

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:
$6a + 48 - a^2 - 8a < 6a + 75$
$-a^2 - 2a + 48 < 6a + 75$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное неравенство с положительным коэффициентом при $a^2$:
$0 < (6a + 75) - (-a^2 - 2a + 48)$
$0 < 6a + 75 + a^2 + 2a - 48$

Приведем подобные слагаемые:
$0 < a^2 + 8a + 27$
Это неравенство равносильно исходному. Докажем, что $a^2 + 8a + 27 > 0$ для всех действительных $a$.

Для этого выделим полный квадрат в квадратном трехчлене:
$a^2 + 8a + 27 = (a^2 + 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2) - 4^2 + 27 = (a + 4)^2 - 16 + 27 = (a + 4)^2 + 11$

Таким образом, неравенство принимает вид:
$(a + 4)^2 + 11 > 0$

Выражение $(a + 4)^2$ как квадрат любого действительного числа всегда неотрицательно: $(a + 4)^2 \ge 0$.
Следовательно, сумма $(a + 4)^2 + 11$ всегда будет больше или равна 11: $(a + 4)^2 + 11 \ge 11$.
Поскольку $11 > 0$, то и выражение $(a + 4)^2 + 11$ всегда строго положительно для любого действительного значения $a$. Это доказывает справедливость исходного неравенства.

Ответ: Доказано.