Страница 11 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какое из приведённых неравенств является верным при любых значениях $a$ и $b$, удовлетворяющих условию $a > b$?

1) $a - b < 2$

2) $b - a > 0$

3) $b - a < -3$

4) $a - b > -1$

Нам дано условие $a > b$. Проанализируем каждое из предложенных неравенств, чтобы определить, какое из них будет верным для любых значений $a$ и $b$, удовлетворяющих этому условию.

1) $a - b < 2$

Из условия $a > b$ следует, что разность $a - b$ является положительным числом, то есть $a - b > 0$. Однако это число может быть любым положительным числом. Например, если мы выберем $a = 5$ и $b = 1$, то условие $a > b$ (то есть $5 > 1$) выполняется. При этом разность $a - b = 5 - 1 = 4$. Неравенство $4 < 2$ является ложным. Следовательно, данное неравенство выполняется не при любых $a$ и $b$, удовлетворяющих условию $a > b$.

Ответ: Неверно.

2) $b - a > 0$

Преобразуем исходное неравенство $a > b$. Вычтем из обеих частей неравенства $a$: $a - a > b - a$, что дает $0 > b - a$, или $b - a < 0$. Это означает, что разность $b - a$ всегда отрицательна. Неравенство $b - a > 0$ утверждает обратное, поэтому оно всегда ложно при выполнении условия $a > b$.

Ответ: Неверно.

3) $b - a < -3$

Как мы выяснили в предыдущем пункте, из $a > b$ следует, что $b - a < 0$. Однако это не гарантирует, что разность $b - a$ будет меньше $-3$. Например, если мы выберем $a = 2$ и $b = 1$, то условие $a > b$ (то есть $2 > 1$) выполняется. При этом разность $b - a = 1 - 2 = -1$. Неравенство $-1 < -3$ является ложным. Следовательно, данное неравенство выполняется не при любых $a$ и $b$, удовлетворяющих условию $a > b$.

Ответ: Неверно.

4) $a - b > -1$

Из исходного условия $a > b$ следует, что разность $a - b$ всегда является положительным числом: $a - b > 0$. Любое положительное число по определению больше любого отрицательного числа. Так как $-1$ является отрицательным числом, то неравенство $a - b > -1$ будет верным для любого положительного значения $a - b$. Таким образом, это неравенство является верным при любых значениях $a$ и $b$, удовлетворяющих условию $a > b$.

Ответ: Верно.

2. О числах $m$ и $n$ известно, что $m < n$. Какое из следующих неравенств неверно?

1) $m - 34 < n - 34$

2) $m + 28 < n + 28$

3) $-\frac{m}{15} < -\frac{n}{15}$

4) $\frac{m}{18} < \frac{n}{18}$

По условию задачи дано неравенство $m < n$. Проверим верность каждого из предложенных неравенств, основываясь на свойствах числовых неравенств.

1) $m - 34 < n - 34$

Данное неравенство получено из исходного ($m < n$) путем вычитания одного и того же числа (34) из обеих его частей. Согласно свойству неравенств, если из обеих частей верного неравенства вычесть одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Следовательно, это неравенство является верным.

Ответ: верно.

2) $m + 28 < n + 28$

Это неравенство получено путем прибавления к обеим частям исходного неравенства $m < n$ одного и того же числа (28). Согласно свойству неравенств, если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Следовательно, это неравенство является верным.

Ответ: верно.

3) $-\frac{m}{15} < -\frac{n}{15}$

Чтобы получить это неравенство из исходного $m < n$, нужно выполнить два действия: разделить обе части на 15 и умножить на -1.
1. Разделим обе части на положительное число 15. Знак неравенства сохранится: $\frac{m}{15} < \frac{n}{15}$.
2. Умножим обе части на отрицательное число -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства должен измениться на противоположный (с "<" на ">"): $-\frac{m}{15} > -\frac{n}{15}$.
Предложенное в варианте неравенство $-\frac{m}{15} < -\frac{n}{15}$ противоречит правилу, следовательно, оно является неверным.

Ответ: неверно.

4) $\frac{m}{18} < \frac{n}{18}$

Данное неравенство получено путем деления обеих частей исходного неравенства $m < n$ на одно и то же положительное число (18). Согласно свойству неравенств, при делении на положительное число знак неравенства не меняется. Следовательно, это неравенство является верным.

Ответ: верно.

Таким образом, неверным является неравенство, указанное в пункте 3.

3. На координатной прямой отмечено число $a$ (рис. 1).

Расположите в порядке возрастания числа $a$, $a^2$ и $-a$.

Рис. 1

На координатной прямой (рис. 1) отмечено число $a$. Из рисунка видно, что точка $a$ расположена правее точки 1. Это означает, что число $a$ больше единицы, то есть $a > 1$.

Необходимо сравнить три числа: $a$, $a^2$ и $-a$.

1. Так как $a > 1$, то $a$ — это положительное число. Следовательно, $-a$ — это отрицательное число. Любое отрицательное число меньше любого положительного, поэтому $-a$ будет наименьшим из трех чисел.

2. Теперь сравним $a$ и $a^2$. Поскольку $a > 1$, можно умножить обе части этого неравенства на $a$. Так как $a$ — положительное число, знак неравенства при умножении сохранится:
$a \cdot a > 1 \cdot a$
$a^2 > a$

3. Объединим полученные результаты. Мы выяснили, что $-a$ — самое маленькое число, и что $a^2$ больше, чем $a$. Таким образом, мы можем записать следующее двойное неравенство:
$-a < a < a^2$

Следовательно, числа в порядке возрастания располагаются так: $-a$, $a$, $a^2$.

Ответ: $-a, a, a^2$.

4. Известно, что $a > 6$. Сравните с нулём значение выражения:

1) $a - 5$;

2) $3 - a$;

3) $(a - 4)(6 - a)$.

1) a – 5;

Согласно условию, $a > 6$. Чтобы сравнить выражение $a - 5$ с нулём, вычтем число 5 из обеих частей исходного неравенства. При вычитании одного и того же числа из обеих частей неравенства его знак не меняется:
$a - 5 > 6 - 5$
$a - 5 > 1$
Поскольку $1 > 0$, то и выражение $a - 5$ больше нуля.
Ответ: $a - 5 > 0$.

2) 3 – a;

Используем исходное неравенство $a > 6$. Чтобы получить выражение $3 - a$, сначала умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$-a < -6$
Теперь прибавим число 3 к обеим частям полученного неравенства. Знак неравенства не изменится:
$3 - a < 3 - 6$
$3 - a < -3$
Поскольку $-3 < 0$, то и выражение $3 - a$ меньше нуля.
Ответ: $3 - a < 0$.

3) (a – 4)(6 – a).

Чтобы определить знак произведения, определим знак каждого из множителей.
Первый множитель: $(a - 4)$.
По условию $a > 6$. Так как $6 > 4$, то из этого следует, что $a > 4$. Если из большей части вычесть меньшую, разность будет положительной, следовательно, $a - 4 > 0$.
Второй множитель: $(6 - a)$.
По условию $a > 6$. Если из меньшего числа вычесть большее, разность будет отрицательной, следовательно, $6 - a < 0$.
Произведение положительного числа $(a - 4)$ и отрицательного числа $(6 - a)$ есть число отрицательное.
Таким образом, $(a - 4)(6 - a) < 0$.
Ответ: $(a - 4)(6 - a) < 0$.

5. Докажите, что при любых значениях переменной верно неравенство:

1) $(a + 4)(a - 8) < (a - 6)(a + 2);$

2) $a (a - 3) > 3(a - 4).$

1) $(a + 4)(a - 8) < (a - 6)(a + 2)$

Чтобы доказать это неравенство, раскроем скобки в обеих его частях.

Левая часть:

$(a + 4)(a - 8) = a^2 - 8a + 4a - 32 = a^2 - 4a - 32$

Правая часть:

$(a - 6)(a + 2) = a^2 + 2a - 6a - 12 = a^2 - 4a - 12$

Теперь подставим полученные выражения обратно в неравенство:

$a^2 - 4a - 32 < a^2 - 4a - 12$

Перенесём все члены, содержащие переменную, в одну сторону, а числовые члены — в другую. Для этого вычтем из обеих частей $a^2$ и прибавим $4a$:

$a^2 - 4a - 32 - a^2 + 4a < a^2 - 4a - 12 - a^2 + 4a$

$-32 < -12$

В результате мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной $a$. Следовательно, исходное неравенство верно при любых значениях $a$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство верно при любых значениях $a$.

2) $a(a - 3) > 3(a - 4)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства.

$a^2 - 3a > 3a - 12$

Перенесём все члены в левую часть неравенства:

$a^2 - 3a - 3a + 12 > 0$

$a^2 - 6a + 12 > 0$

Чтобы доказать, что это неравенство верно для любого $a$, преобразуем левую часть, выделив полный квадрат:

$a^2 - 6a + 12 = (a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 12 = (a - 3)^2 - 9 + 12 = (a - 3)^2 + 3$

Неравенство принимает вид:

$(a - 3)^2 + 3 > 0$

Рассмотрим выражение в левой части. Выражение $(a - 3)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $(a - 3)^2 \geq 0$ при любых значениях $a$.

Следовательно, наименьшее значение выражения $(a - 3)^2$ равно 0. Тогда наименьшее значение всего выражения $(a - 3)^2 + 3$ будет равно $0 + 3 = 3$.

Таким образом, $(a - 3)^2 + 3 \geq 3$ для любого значения $a$.

Поскольку $3 > 0$, то и выражение $(a - 3)^2 + 3$ всегда больше нуля. Это доказывает, что исходное неравенство верно при любых значениях переменной $a$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство верно при любых значениях $a$.