Номер 5, страница 11, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Докажите, что при любых значениях переменной верно неравенство:

1) $(a + 4)(a - 8) < (a - 6)(a + 2);$

2) $a (a - 3) > 3(a - 4).$

1) $(a + 4)(a - 8) < (a - 6)(a + 2)$

Чтобы доказать это неравенство, раскроем скобки в обеих его частях.

Левая часть:

$(a + 4)(a - 8) = a^2 - 8a + 4a - 32 = a^2 - 4a - 32$

Правая часть:

$(a - 6)(a + 2) = a^2 + 2a - 6a - 12 = a^2 - 4a - 12$

Теперь подставим полученные выражения обратно в неравенство:

$a^2 - 4a - 32 < a^2 - 4a - 12$

Перенесём все члены, содержащие переменную, в одну сторону, а числовые члены — в другую. Для этого вычтем из обеих частей $a^2$ и прибавим $4a$:

$a^2 - 4a - 32 - a^2 + 4a < a^2 - 4a - 12 - a^2 + 4a$

$-32 < -12$

В результате мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной $a$. Следовательно, исходное неравенство верно при любых значениях $a$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство верно при любых значениях $a$.

2) $a(a - 3) > 3(a - 4)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства.

$a^2 - 3a > 3a - 12$

Перенесём все члены в левую часть неравенства:

$a^2 - 3a - 3a + 12 > 0$

$a^2 - 6a + 12 > 0$

Чтобы доказать, что это неравенство верно для любого $a$, преобразуем левую часть, выделив полный квадрат:

$a^2 - 6a + 12 = (a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 12 = (a - 3)^2 - 9 + 12 = (a - 3)^2 + 3$

Неравенство принимает вид:

$(a - 3)^2 + 3 > 0$

Рассмотрим выражение в левой части. Выражение $(a - 3)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $(a - 3)^2 \geq 0$ при любых значениях $a$.

Следовательно, наименьшее значение выражения $(a - 3)^2$ равно 0. Тогда наименьшее значение всего выражения $(a - 3)^2 + 3$ будет равно $0 + 3 = 3$.

Таким образом, $(a - 3)^2 + 3 \geq 3$ для любого значения $a$.

Поскольку $3 > 0$, то и выражение $(a - 3)^2 + 3$ всегда больше нуля. Это доказывает, что исходное неравенство верно при любых значениях переменной $a$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство верно при любых значениях $a$.