Номер 5, страница 12, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Докажите, что при любых значениях переменной верно неравенство:

1) $(a+5)(a-3) > (a-4)(a+6);$

2) $a(a-8) > 2(a-13).$

1)

Чтобы доказать, что неравенство $(a + 5)(a - 3) > (a - 4)(a + 6)$ верно при любых значениях переменной $a$, выполним тождественные преобразования.

Сначала раскроем скобки в обеих частях неравенства.

Левая часть: $(a + 5)(a - 3) = a^2 - 3a + 5a - 15 = a^2 + 2a - 15$.

Правая часть: $(a - 4)(a + 6) = a^2 + 6a - 4a - 24 = a^2 + 2a - 24$.

Теперь подставим полученные многочлены в исходное неравенство:

$a^2 + 2a - 15 > a^2 + 2a - 24$

Перенесём все члены из правой части в левую, меняя их знаки на противоположные:

$a^2 + 2a - 15 - a^2 - 2a + 24 > 0$

Приведём подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (2a - 2a) + (-15 + 24) > 0$

$0 + 0 + 9 > 0$

$9 > 0$

В результате преобразований мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной $a$. Это означает, что исходное неравенство также является верным при любом значении $a$.

Ответ: Неравенство доказано.

2)

Чтобы доказать, что неравенство $a(a - 8) > 2(a - 13)$ верно при любых значениях переменной $a$, выполним преобразования.

Раскроем скобки в обеих частях:

$a^2 - 8a > 2a - 26$

Перенесём все члены в левую часть неравенства:

$a^2 - 8a - 2a + 26 > 0$

Приведём подобные слагаемые:

$a^2 - 10a + 26 > 0$

Для доказательства этого неравенства выделим в его левой части полный квадрат. Используем формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$a^2 - 10a + 26 = (a^2 - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2) - 5^2 + 26 = (a^2 - 10a + 25) + 1$

Свернём выражение в скобках в полный квадрат:

$(a - 5)^2 + 1$

Таким образом, наше неравенство принимает вид:

$(a - 5)^2 + 1 > 0$

Проанализируем левую часть. Выражение $(a - 5)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда больше либо равно нулю при любом значении $a$: $(a - 5)^2 \ge 0$.

Если к неотрицательному числу прибавить 1, результат всегда будет положительным:

$(a - 5)^2 + 1 \ge 0 + 1$, то есть $(a - 5)^2 + 1 \ge 1$.

Поскольку $1 > 0$, то и выражение $(a - 5)^2 + 1$ всегда строго больше нуля. Следовательно, исходное неравенство верно при любых значениях переменной $a$.

Ответ: Неравенство доказано.