Номер 5, страница 13, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Докажите, что:

1) $a^3 + 27 \ge 3a^2 + 9a$ при $a \ge -3$;

2) $(4 - a)(a + 2) < 2(17 - 4a)$ при всех действительных значениях $a$.

1) Требуется доказать, что $a^3 + 27 \ge 3a^2 + 9a$ при $a \ge -3$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$a^3 - 3a^2 - 9a + 27 \ge 0$

Разложим левую часть на множители методом группировки:

$(a^3 - 3a^2) - (9a - 27) \ge 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a^2(a - 3) - 9(a - 3) \ge 0$

Теперь вынесем общий множитель $(a - 3)$:

$(a^2 - 9)(a - 3) \ge 0$

Множитель $(a^2 - 9)$ является разностью квадратов, которую можно разложить как $(a - 3)(a + 3)$. Подставим это в неравенство:

$(a - 3)(a + 3)(a - 3) \ge 0$

$(a - 3)^2(a + 3) \ge 0$

Проанализируем полученное выражение:

Множитель $(a - 3)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому он всегда неотрицателен, то есть $(a - 3)^2 \ge 0$ для любого значения $a$.

По условию задачи $a \ge -3$. Из этого следует, что множитель $(a + 3)$ также неотрицателен: $a + 3 \ge 0$.

Произведение двух неотрицательных множителей ($(a - 3)^2$ и $(a + 3)$) всегда является неотрицательным числом. Следовательно, неравенство $(a - 3)^2(a + 3) \ge 0$ выполняется для всех $a \ge -3$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Требуется доказать, что $(4 - a)(a + 2) < 2(17 - 4a)$ при всех действительных значениях $a$.

Раскроем скобки в обеих частях неравенства.

Левая часть: $(4 - a)(a + 2) = 4a + 8 - a^2 - 2a = -a^2 + 2a + 8$.

Правая часть: $2(17 - 4a) = 34 - 8a$.

Исходное неравенство принимает вид:

$-a^2 + 2a + 8 < 34 - 8a$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы собрать все слагаемые с одной стороны и получить квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом:

$0 < 34 - 8a + a^2 - 2a - 8$

Приведем подобные слагаемые:

$0 < a^2 - 10a + 26$

Таким образом, задача сводится к доказательству того, что $a^2 - 10a + 26 > 0$ для всех действительных $a$.

Для доказательства этого факта выделим полный квадрат в левой части неравенства:

$a^2 - 10a + 26 = (a^2 - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2) - 5^2 + 26 = (a - 5)^2 - 25 + 26 = (a - 5)^2 + 1$

Неравенство приобретает вид:

$(a - 5)^2 + 1 > 0$

Выражение $(a - 5)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно: $(a - 5)^2 \ge 0$.

Прибавив 1 к неотрицательному значению, мы получим число, которое всегда будет больше или равно 1:

$(a - 5)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$.

Поскольку $1 > 0$, то и $(a - 5)^2 + 1 > 0$ при всех действительных значениях $a$.

Ответ: Что и требовалось доказать.