Номер 1, страница 12, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какое из приведённых неравенств является верным при любых значениях $a$ и $b$, удовлетворяющих условию $a < b$?

1) $a - b < -2$

2) $a - b > 0$

3) $b - a > -2$

4) $b - a > 1$

Проанализируем каждое из предложенных неравенств, исходя из основного условия $a < b$. Наша задача — найти неравенство, которое будет верным для любых значений $a$ и $b$, удовлетворяющих этому условию.

1) $a - b < -2$

Из условия $a < b$ следует, что разность $a - b$ всегда отрицательна ($a - b < 0$). Однако это не гарантирует, что она всегда будет меньше $-2$. Чтобы доказать, что это утверждение неверно, достаточно привести один контрпример.
Пусть $a = 1$ и $b = 2$. Условие $a < b$ выполняется, так как $1 < 2$.
Подставим эти значения в неравенство: $a - b = 1 - 2 = -1$.
Неравенство $-1 < -2$ является ложным.
Ответ: неверно.

2) $a - b > 0$

Преобразуем исходное условие $a < b$. Вычтем $b$ из обеих частей неравенства:
$a - b < b - b$
$a - b < 0$
Это означает, что разность $a - b$ всегда должна быть отрицательной. Утверждение $a - b > 0$ прямо противоречит этому выводу.
Ответ: неверно.

3) $b - a > -2$

Снова обратимся к исходному условию $a < b$. Вычтем $a$ из обеих частей неравенства:
$a - a < b - a$
$0 < b - a$, что эквивалентно $b - a > 0$.
Это означает, что разность $b - a$ всегда является положительным числом. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. Так как $-2$ — отрицательное число, то любое положительное число $b - a$ будет больше $-2$.
Таким образом, это неравенство является верным для любых $a$ и $b$, удовлетворяющих условию $a < b$.
Ответ: верно.

4) $b - a > 1$

Как мы показали в предыдущем пункте, из условия $a < b$ следует, что $b - a > 0$. Но это не означает, что эта разность всегда больше $1$. Приведем контрпример.
Пусть $a = 0.5$ и $b = 1$. Условие $a < b$ выполняется, так как $0.5 < 1$.
Подставим эти значения в неравенство: $b - a = 1 - 0.5 = 0.5$.
Неравенство $0.5 > 1$ является ложным.
Ответ: неверно.