Страница 16 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какие из данных утверждений верны:

а) если $a > 12$ и $b > 4$, то $ab > 48$;

б) если $a > 12$ и $b > 4$, то $\frac{a}{b} > 3$;

в) если $a > 12$ и $b > 4$, то $a - b > 8$?

1) только а

2) только а и б

3) только б и в

4) а, б и в

Проанализируем каждое утверждение по отдельности, исходя из заданных условий $a > 12$ и $b > 4$.

а) если a > 12 и b > 4, то ab > 48

Это утверждение верно. Так как $a$ и $b$ — положительные числа ($a > 12 > 0$ и $b > 4 > 0$), мы можем перемножить два неравенства с одинаковым знаком. Умножим левые и правые части неравенств:

$a \cdot b > 12 \cdot 4$

$ab > 48$

Неравенство выполняется.

Ответ: утверждение верно.

б) если a > 12 и b > 4, то $\frac{a}{b}$ > 3

Это утверждение неверно. Чтобы доказать это, достаточно найти хотя бы один контрпример, где условия $a > 12$ и $b > 4$ выполняются, а заключение $\frac{a}{b} > 3$ — нет.

Возьмем значение $a$, близкое к 12, и большое значение $b$. Например, пусть $a = 13$ и $b = 10$. Оба условия выполнены: $13 > 12$ и $10 > 4$.

Теперь проверим заключение:

$\frac{a}{b} = \frac{13}{10} = 1.6$

Неравенство $1.6 > 3$ является ложным. Следовательно, исходное утверждение неверно.

Ответ: утверждение неверно.

в) если a > 12 и b > 4, то a − b > 8

Это утверждение также неверно. Приведем контрпример. Возьмем значения $a$ и $b$, близкие к границам своих интервалов.

Например, пусть $a = 13$ (что больше 12) и $b = 5$ (что больше 4).

Найдем их разность:

$a - b = 13 - 5 = 8$

Неравенство $8 > 8$ является ложным, так как число 8 равно само себе, а не строго больше. Следовательно, исходное утверждение неверно.

Ответ: утверждение неверно.

Таким образом, из трех утверждений верным является только утверждение а). Среди предложенных вариантов этому соответствует номер 1.

Ответ: 1

2. Известно, что $4 < m < 6$ и $1 < n < 7$. Оцените значение выражения $mn$.

1) $5 < mn < 13$

2) $10 < mn < 26$

3) $4 < mn < 42$

4) $5 < mn < 41$

По условию задачи нам даны два двойных неравенства:
$4 < m < 6$
$1 < n < 7$

Требуется оценить значение выражения $mn$. Для этого необходимо найти наименьшее и наибольшее возможные значения этого произведения.

Из данных неравенств следует, что переменные $m$ и $n$ принимают только положительные значения, так как $m$ больше 4, а $n$ больше 1.
Когда все части неравенств положительны, мы можем их почленно перемножить. То есть, чтобы найти границы для произведения $mn$, мы перемножаем соответствующие левые и правые части исходных неравенств.

Перемножим левые части неравенств, чтобы найти нижнюю границу произведения $mn$:
$4 \cdot 1 = 4$

Перемножим правые части неравенств, чтобы найти верхнюю границу произведения $mn$:
$6 \cdot 7 = 42$

Объединив результаты, получаем оценку для выражения $mn$:
$4 < mn < 42$

Данный результат соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3) $4 < mn < 42$

3. Оцените периметр $P$ правильного шестиугольника со стороной $a$ см, если $0,5 < a < 2,5$.

Периметр $P$ правильного шестиугольника равен сумме длин всех его шести сторон. Так как шестиугольник правильный, все его стороны равны $a$. Следовательно, формула для периметра: $P = 6a$.

Из условия задачи мы знаем, что длина стороны $a$ находится в пределах: $0,5 < a < 2,5$.

Чтобы найти диапазон значений для периметра $P$, мы должны умножить все части этого двойного неравенства на 6. Так как 6 — положительное число, знаки неравенства не изменятся.

Выполним умножение: $6 \cdot 0,5 < 6 \cdot a < 6 \cdot 2,5$

$3 < P < 15$

Таким образом, периметр $P$ правильного шестиугольника больше 3 см, но меньше 15 см.

Ответ: $3 < P < 15$.

4. Известно, что $-12 < a < 18$. Оцените значение выражения $\frac{1}{6}a - 5$.

Для оценки значения выражения $\frac{1}{6}a - 5$ необходимо выполнить преобразования с исходным неравенством $-12 < a < 18$.

1. Умножим все части неравенства на $\frac{1}{6}$. Так как $\frac{1}{6}$ — положительное число, знаки неравенства сохраняются:
$-12 \cdot \frac{1}{6} < a \cdot \frac{1}{6} < 18 \cdot \frac{1}{6}$
$-\frac{12}{6} < \frac{1}{6}a < \frac{18}{6}$
$-2 < \frac{1}{6}a < 3$

2. Теперь вычтем 5 из всех частей полученного неравенства:
$-2 - 5 < \frac{1}{6}a - 5 < 3 - 5$
$-7 < \frac{1}{6}a - 5 < -2$

Таким образом, значение выражения находится в интервале от -7 до -2.

Ответ: $-7 < \frac{1}{6}a - 5 < -2$

5. Дано: $8 < x < 12$ и $2 < y < 4$. Оцените значение выражения:

1) $5x - 2y$;

2) $\frac{x}{y}$.

1) 5x – 2y;

Чтобы оценить значение выражения $5x - 2y$, нам нужно сначала оценить значения $5x$ и $-2y$ по отдельности, а затем сложить полученные неравенства.
1. Оценим $5x$. У нас есть неравенство $8 < x < 12$. Умножим все его части на 5. Так как 5 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:
$8 \cdot 5 < 5x < 12 \cdot 5$
$40 < 5x < 60$
2. Оценим $-2y$. У нас есть неравенство $2 < y < 4$. Сначала умножим все его части на 2:
$2 \cdot 2 < 2y < 4 \cdot 2$
$4 < 2y < 8$
Теперь умножим полученное неравенство на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-4 > -2y > -8$
Запишем это в более привычном виде, поменяв местами левую и правую части:
$-8 < -2y < -4$
3. Теперь сложим почленно два полученных неравенства:
$40 < 5x < 60$
$+\quad -8 < -2y < -4$
$--------------------$
$40 + (-8) < 5x + (-2y) < 60 + (-4)$
$32 < 5x - 2y < 56$
Ответ: $32 < 5x - 2y < 56$.

2) x/y

Чтобы оценить значение дроби $\frac{x}{y}$, где $x$ и $y$ положительны, нужно найти ее наименьшее и наибольшее возможные значения.
Наименьшее значение дробь принимает, когда числитель $x$ минимален, а знаменатель $y$ максимален.
Наибольшее значение дробь принимает, когда числитель $x$ максимален, а знаменатель $y$ минимален.
Из условий $8 < x < 12$ и $2 < y < 4$ следует:
Наименьшее значение дроби: $\frac{min(x)}{max(y)} = \frac{8}{4} = 2$.
Наибольшее значение дроби: $\frac{max(x)}{min(y)} = \frac{12}{2} = 6$.
Таким образом, значение выражения $\frac{x}{y}$ находится между 2 и 6.
Формально это можно записать так:
Из $2 < y < 4$ следует, что $\frac{1}{4} < \frac{1}{y} < \frac{1}{2}$.
Теперь перемножим почленно неравенства для $x$ и $\frac{1}{y}$ (так как все части неравенств положительны, это допустимо):
$8 < x < 12$
$\times\quad \frac{1}{4} < \frac{1}{y} < \frac{1}{2}$
$--------------------$
$8 \cdot \frac{1}{4} < x \cdot \frac{1}{y} < 12 \cdot \frac{1}{2}$
$2 < \frac{x}{y} < 6$
Ответ: $2 < \frac{x}{y} < 6$.