Страница 23 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какое из приведённых чисел является решением системы неравенств $\begin{cases} x \ge -2, \\ x > 4? \end{cases}$

1) -2

2) 3

3) 3,9

4) 4,2

Чтобы найти, какое из приведённых чисел является решением системы неравенств, необходимо определить, какое из них удовлетворяет каждому неравенству в системе одновременно.

Исходная система неравенств:
$ \begin{cases} x \ge -2 \\ x > 4 \end{cases} $

Решением системы является множество значений $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам. Если число $x$ удовлетворяет второму, более строгому, неравенству ($x > 4$), то оно автоматически будет удовлетворять и первому неравенству ($x \ge -2$), поскольку любое число, которое больше 4, заведомо больше -2.

Следовательно, решение данной системы неравенств эквивалентно решению одного неравенства: $x > 4$.

Теперь проверим, какое из предложенных чисел удовлетворяет этому условию.

1) -2
Проверяем: $-2 > 4$. Это неверно.

2) 3
Проверяем: $3 > 4$. Это неверно.

3) 3,9
Проверяем: $3,9 > 4$. Это неверно.

4) 4,2
Проверяем: $4,2 > 4$. Это верно.

Единственное число, которое удовлетворяет условию $x > 4$, это 4,2.

Ответ: 4,2

2. Сколько целых чисел принадлежит промежутку $ (-4; 2 ] $?

1) 8

2) 7

3) 6

4) 5

Для того чтобы найти количество целых чисел, принадлежащих промежутку $(–4; 2]$, необходимо определить, какие целые числа $x$ удовлетворяют двойному неравенству $–4 < x ≤ 2$.

Запись $(–4; 2]$ означает, что левая граница, число $-4$, не включается в промежуток (так как скобка круглая), а правая граница, число $2$, включается в промежуток (так как скобка квадратная).

Таким образом, нам нужно перечислить все целые числа, которые строго больше $-4$ и при этом меньше либо равны $2$.

Выпишем эти числа в порядке возрастания: $-3, -2, -1, 0, 1, 2$.

Теперь посчитаем их количество. Всего в списке 6 чисел.

Ответ: 6

3. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x - 7 < 0, \\ -3x \le 6; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3x - 1 < 1 - 2x, \\ 3 - x > x + 2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 1 - 3x \ge 16, \\ 2x + 4 \ge 6. \end{cases}$

1)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:

$x - 7 < 0$

$x < 7$

Второе неравенство:

$-3x \le 6$

При делении обеих частей неравенства на отрицательное число (-3) знак неравенства меняется на противоположный:

$x \ge \frac{6}{-3}$

$x \ge -2$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x < 7$ и $x \ge -2$. Это означает, что $x$ должен быть одновременно больше или равен -2 и строго меньше 7.

Решением системы является промежуток $[-2; 7)$.

Ответ: $x \in [-2; 7)$.

2)

Решим каждое неравенство системы.

Первое неравенство:

$3x - 1 < 1 - 2x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$3x + 2x < 1 + 1$

$5x < 2$

$x < \frac{2}{5}$

Второе неравенство:

$3 - x > x + 2$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну часть, а свободные члены — в другую:

$3 - 2 > x + x$

$1 > 2x$

$\frac{1}{2} > x$, или $x < \frac{1}{2}$

Найдем пересечение решений: $x < \frac{2}{5}$ и $x < \frac{1}{2}$.

Сравним дроби: $\frac{2}{5} = 0.4$, а $\frac{1}{2} = 0.5$. Так как $0.4 < 0.5$, то пересечением двух условий является более сильное из них, то есть $x < \frac{2}{5}$.

Решением системы является промежуток $(-\infty; \frac{2}{5})$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{2}{5})$.

3)

Решим каждое неравенство системы.

Первое неравенство:

$1 - 3x \ge 16$

$-3x \ge 16 - 1$

$-3x \ge 15$

При делении на -3 меняем знак неравенства:

$x \le \frac{15}{-3}$

$x \le -5$

Второе неравенство:

$2x + 4 \ge 6$

$2x \ge 6 - 4$

$2x \ge 2$

$x \ge 1$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x \le -5$ и $x \ge 1$.

Не существует числа, которое было бы одновременно меньше или равно -5 и больше или равно 1. Следовательно, множества решений этих двух неравенств не пересекаются.

Ответ: решений нет.

4. При каких значениях переменной имеет смысл выражение $\frac{1}{\sqrt{28 - 7x}} + \sqrt{3x + 9}$?

Данное выражение представляет собой сумму двух слагаемых. Чтобы всё выражение имело смысл (было определено), необходимо, чтобы каждое слагаемое имело смысл одновременно.

Рассмотрим первое слагаемое: $\frac{1}{\sqrt{28 - 7x}}$.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $28 - 7x \ge 0$. Кроме того, знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $\sqrt{28 - 7x} \neq 0$, что означает $28 - 7x \neq 0$. Объединяя эти два условия, получаем, что подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным. Составим и решим неравенство:

$28 - 7x > 0$

$-7x > -28$

При делении обеих частей неравенства на отрицательное число (-7) знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 4$

Рассмотрим второе слагаемое: $\sqrt{3x + 9}$.
Для существования этого выражения подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Составим и решим неравенство:

$3x + 9 \ge 0$

$3x \ge -9$

$x \ge -3$

Теперь найдем значения переменной $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно. Для этого решим систему неравенств:

$\begin{cases} x < 4 \\ x \ge -3\end{cases}$

Пересечением этих двух условий является промежуток от -3 включительно до 4 не включительно. Это можно записать в виде двойного неравенства $-3 \le x < 4$ или в виде числового промежутка.

Ответ: $x \in [-3; 4)$.