Страница 28 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Функция задана формулой $f(x) = -4x^2 + x$. Укажите неверное равенство.

1) $f(-1) = -5$

2) $f(0) = 0$

3) $f(2) = -14$

4) $f(-2) = 14$

Чтобы определить неверное равенство, необходимо поочередно подставить значения аргумента $x$ из каждого равенства в формулу функции $f(x) = -4x^2 + x$ и проверить, совпадает ли результат с предложенным значением функции.

1) f(-1) = -5

Подставим $x = -1$ в формулу функции:

$f(-1) = -4(-1)^2 + (-1) = -4(1) - 1 = -4 - 1 = -5$.

Результат совпадает с предложенным в равенстве, следовательно, оно верное.

Ответ: равенство верное.

2) f(0) = 0

Подставим $x = 0$ в формулу функции:

$f(0) = -4(0)^2 + 0 = -4(0) + 0 = 0 + 0 = 0$.

Результат совпадает с предложенным в равенстве, следовательно, оно верное.

Ответ: равенство верное.

3) f(2) = -14

Подставим $x = 2$ в формулу функции:

$f(2) = -4(2)^2 + 2 = -4(4) + 2 = -16 + 2 = -14$.

Результат совпадает с предложенным в равенстве, следовательно, оно верное.

Ответ: равенство верное.

4) f(-2) = 14

Подставим $x = -2$ в формулу функции:

$f(-2) = -4(-2)^2 + (-2) = -4(4) - 2 = -16 - 2 = -18$.

Полученное значение $-18$ не равно $14$ ($ -18 \neq 14 $). Следовательно, это равенство неверное.

Ответ: равенство неверное.

2. Функция задана формулой $f(x) = 5x + 2$. Укажите значение аргумента, при котором $f(x) = 23$.

1) 5

2) 4

3) 4,2

4) 4,6

По условию задачи дана функция $f(x) = 5x + 2$. Необходимо найти значение аргумента $x$, при котором значение функции $f(x)$ равно 23.

Для этого составим и решим уравнение, подставив 23 вместо $f(x)$:
$5x + 2 = 23$

Перенесем 2 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$5x = 23 - 2$
$5x = 21$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 5:
$x = \frac{21}{5}$
$x = 4,2$

Таким образом, значение аргумента, при котором функция равна 23, составляет 4,2.

Ответ: 4,2

3. На рисунке 8 изображен график функции $y = f(x)$, определенной на промежутке $[-2; 4]$.

Пользуясь графиком, найдите:

1) $f(3)$ и $f(0)$;

2) значения $x$, при которых $f(x) = -2$;

3) область значений функции.

Рис. 8

1) f(3) и f(0)

Чтобы найти значение функции в точке по её графику, необходимо найти на оси абсцисс ($x$) заданное значение аргумента, провести перпендикуляр к графику и от точки пересечения провести перпендикуляр к оси ординат ($y$). Полученное значение на оси $y$ и будет значением функции.
Для нахождения $f(3)$ находим на оси $x$ точку $x=3$. Поднимаемся или опускаемся до графика. Точка на графике имеет координаты $(3, -2)$. Значит, $f(3) = -2$.
Для нахождения $f(0)$ находим на оси $x$ точку $x=0$. Это точка пересечения с осью $y$. Точка на графике имеет координаты $(0, -1)$. Значит, $f(0) = -1$.

Ответ: $f(3) = -2$, $f(0) = -1$.

2) значения x, при которых f(x) = -2

Чтобы найти значения $x$, при которых $f(x) = -2$, необходимо найти на оси ординат ($y$) значение $y=-2$, провести горизонтальную прямую $y = -2$ и найти абсциссы ($x$) всех точек пересечения этой прямой с графиком функции.
Прямая $y = -2$ пересекает график функции в двух точках. Абсциссы этих точек равны $x=1$ и $x=3$.

Ответ: $x=1$, $x=3$.

3) область значений функции

Область значений функции – это множество всех значений, которые принимает переменная $y$. Чтобы найти её по графику, нужно спроецировать весь график на ось ординат ($y$). Иными словами, нужно найти наименьшее и наибольшее значение, которое принимает функция на заданной области определения $[-2; 4]$.
Из графика видно, что самое низкое положение точка графика занимает при $x=2$, её ордината равна $y=-3$. Это минимальное значение функции.
Самое высокое положение точка графика занимает при $x=-2$, её ордината равна $y=2$. Это максимальное значение функции.
Функция принимает все значения между минимальным и максимальным. Таким образом, область значений функции — это промежуток от -3 до 2 включительно.

Ответ: $[-3; 2]$.

4. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \frac{4x+3}{x^2+7x-8}$;

2) $f(x) = \sqrt{x+8} + \sqrt{9-x}$.

1) Область определения функции $f(x) = \frac{4x+3}{x^2+7x-8}$ — это множество всех действительных чисел $x$, для которых знаменатель дроби не равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль. Для этого решим квадратное уравнение:

$x^2 + 7x - 8 = 0$

Для решения воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней равна $-7$, а их произведение равно $-8$.

$x_1 + x_2 = -7$

$x_1 \cdot x_2 = -8$

Подбором находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -8$.

Также можно найти корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 \pm 9}{2}$

$x_1 = \frac{-7 + 9}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-7 - 9}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Таким образом, знаменатель равен нулю при $x = 1$ и $x = -8$. Эти значения необходимо исключить из области определения функции.

Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup (-8; 1) \cup (1; +\infty)$.

2) Область определения функции $f(x) = \sqrt{x+8} + \sqrt{9-x}$ — это множество всех действительных чисел $x$, для которых оба подкоренных выражения неотрицательны, так как нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа.

Составим систему неравенств:

$\begin{cases} x + 8 \ge 0 \\ 9 - x \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно:

$x + 8 \ge 0 \implies x \ge -8$

$9 - x \ge 0 \implies -x \ge -9 \implies x \le 9$

Областью определения функции является пересечение решений этих двух неравенств, то есть все значения $x$, которые одновременно больше или равны $-8$ и меньше или равны $9$.

$-8 \le x \le 9$

Это соответствует числовому отрезку $[-8; 9]$.

Ответ: $x \in [-8; 9]$.

5. Постройте график функции $f(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x \le -1, \\ x^2, & \text{если } -1 < x < 3, \\ 12-x, & \text{если } x \ge 3. \end{cases}$

Для построения графика кусочно-заданной функции необходимо построить график каждой из трёх частей на соответствующем ей промежутке.

1. График на промежутке $x \le -1$

На этом промежутке функция задана как $f(x) = 1$. Графиком этой функции является горизонтальная прямая $y=1$. Поскольку условие $x \le -1$, мы строим луч, который начинается в точке $(-1, 1)$ и идёт влево параллельно оси абсцисс. Точка $(-1, 1)$ включена в график, так как неравенство нестрогое.

2. График на промежутке $-1 < x < 3$

На этом интервале функция задана как $f(x) = x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Нам нужно построить её часть между $x = -1$ и $x = 3$.

Вычислим значения функции на границах интервала:

• При $x \to -1$, $f(x) \to (-1)^2 = 1$. График стремится к точке $(-1, 1)$. Эта точка совпадает с конечной точкой предыдущего участка, поэтому в точке $x = -1$ разрыва нет.
• При $x \to 3$, $f(x) \to 3^2 = 9$. График стремится к точке $(3, 9)$. Так как неравенство строгое ($x < 3$), эта точка не принадлежит данному участку графика (она будет "выколотой").

Для более точного построения найдем несколько промежуточных точек:

• $f(0) = 0^2 = 0$, точка $(0, 0)$.
• $f(1) = 1^2 = 1$, точка $(1, 1)$.
• $f(2) = 2^2 = 4$, точка $(2, 4)$.

Таким образом, на интервале $(-1, 3)$ график представляет собой дугу параболы, соединяющую точки $(-1, 1)$ и $(3, 9)$ и проходящую через начало координат.

3. График на промежутке $x \ge 3$

На этом промежутке функция задана как $f(x) = 12 - x$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек.

• Начальная точка луча при $x = 3$: $f(3) = 12 - 3 = 9$. Точка $(3, 9)$. Так как неравенство нестрогое ($x \ge 3$), эта точка принадлежит графику. Она "закрашивает" выколотую точку от предыдущего участка, поэтому в точке $x=3$ функция непрерывна.
• Возьмем еще одну точку, например, при $x = 12$: $f(12) = 12 - 12 = 0$. Точка $(12, 0)$.

Таким образом, при $x \ge 3$ график представляет собой луч, выходящий из точки $(3, 9)$ и проходящий через точку $(12, 0)$.

Объединив все три части на одной координатной плоскости, мы получим искомый график функции $f(x)$, который является непрерывной линией.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную линию, состоящую из трёх частей: 1) горизонтального луча $y=1$ для $x \le -1$, исходящего из точки $(-1, 1)$ влево; 2) участка параболы $y=x^2$ с вершиной в $(0, 0)$ между точками $(-1, 1)$ и $(3, 9)$; 3) луча прямой $y=12-x$, исходящего из точки $(3, 9)$ вправо и вниз.