Страница 31 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Функция $y = f(x)$ возрастает на множестве действительных чисел. Укажите среди приведённых значений функции $f$ наибольшее.

1) $f(-5)$

2) $f(-5,2)$

3) $f(-4,9)$

4) $f(-5,01)$

По определению, функция $y = f(x)$ называется возрастающей на множестве действительных чисел, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. Проще говоря, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Чтобы найти наибольшее из приведённых значений функции — $f(-5)$, $f(-5,2)$, $f(-4,9)$, $f(-5,01)$ — нам необходимо найти наибольшее значение среди их аргументов: $-5$; $-5,2$; $-4,9$; $-5,01$.

Сравним эти числа, расположив их на числовой прямой или в порядке возрастания:

$-5,2 < -5,01 < -5 < -4,9$

Наибольшим аргументом в этом ряду является $-4,9$.

Так как функция $f(x)$ возрастает, то наибольшему значению аргумента будет соответствовать наибольшее значение функции. Из неравенства для аргументов следует соответствующее неравенство для значений функции:

$f(-5,2) < f(-5,01) < f(-5) < f(-4,9)$

Таким образом, наибольшим значением функции среди предложенных является $f(-4,9)$, что соответствует варианту 3.

Ответ: 3) $f(-4,9)$

2. Какая из данных функций является убывающей?

1) $y = 0,2x - 6$

2) $y = 5 + 6x$

3) $y = -7 + \frac{1}{3}x$

4) $y = 12 - 0,1x$

Все представленные функции являются линейными и имеют вид $y = kx + b$. Линейная функция является убывающей, если её угловой коэффициент $k$ (коэффициент при переменной $x$) отрицателен, то есть $k < 0$. Если коэффициент $k > 0$, то функция является возрастающей. Проанализируем каждую из предложенных функций.

1) $y = 0,2x - 6$

В данной функции угловой коэффициент $k = 0,2$. Поскольку $k > 0$, эта функция является возрастающей.

2) $y = 5 + 6x$

Чтобы определить угловой коэффициент, представим функцию в стандартном виде $y = kx + b$. Получим $y = 6x + 5$. Здесь угловой коэффициент $k = 6$. Поскольку $k > 0$, эта функция является возрастающей.

3) $y = -7 + \frac{1}{3}x$

Представим функцию в стандартном виде: $y = \frac{1}{3}x - 7$. Угловой коэффициент $k = \frac{1}{3}$. Поскольку $k > 0$, эта функция является возрастающей.

4) $y = 12 - 0,1x$

Представим функцию в стандартном виде: $y = -0,1x + 12$. Угловой коэффициент $k = -0,1$. Поскольку $k < 0$, эта функция является убывающей.

Таким образом, единственная функция, которая является убывающей, — это функция под номером 4.

Ответ: 4

3. Найдите нули функции $f(x) = 4x^2 - 5x + 1$.

Нули функции – это значения аргумента (в данном случае x), при которых значение функции равно нулю. Чтобы найти нули функции $f(x) = 4x^2 - 5x + 1$, необходимо решить уравнение $f(x) = 0$.

Приравниваем функцию к нулю и получаем квадратное уравнение:

$4x^2 - 5x + 1 = 0$

Данное уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны:

$a = 4, b = -5, c = 1$

Способ 1: Через дискриминант

Найдем дискриминант (D) по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{9} = 3$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-5) + 3}{2 \cdot 4} = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1$

$x_2 = \frac{-(-5) - 3}{2 \cdot 4} = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ (или 0,25)

Способ 2: Используя свойство коэффициентов

Заметим, что сумма коэффициентов в уравнении $4x^2 - 5x + 1 = 0$ равна нулю:

$a + b + c = 4 + (-5) + 1 = 0$

Если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна нулю, то один из его корней всегда равен 1, то есть $x_1 = 1$.

Второй корень можно легко найти по теореме Виета, согласно которой произведение корней равно $\frac{c}{a}$:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

$1 \cdot x_2 = \frac{1}{4}$

$x_2 = \frac{1}{4}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Нулями функции являются числа 1 и 1/4.

Ответ: $1; \frac{1}{4}$.

4. Начертите график какой-либо функции, определённой на промежутке $ [-5; 2] $, нулями которой являются числа $ -3 $ и $ 1 $.

Для решения задачи необходимо построить график любой функции, которая удовлетворяет двум условиям:

1. Область определения функции — отрезок $ [-5; 2] $. Это означает, что график должен существовать только для $x$ от -5 до 2 включительно.
2. Нули функции — числа -3 и 1. Это означает, что график функции должен пересекать ось абсцисс (ось Ox) в точках с координатами $ (-3; 0) $ и $ (1; 0) $.

Существует бесконечно много таких функций. В качестве примера выберем наиболее простую — квадратичную функцию, графиком которой является парабола.

Если функция имеет нули в точках $x_1$ и $x_2$, ее уравнение можно записать в виде $y = a(x - x_1)(x - x_2)$. Подставим наши нули $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$:

$y = a(x - (-3))(x - 1) = a(x+3)(x-1)$

Коэффициент $a$ может быть любым числом, не равным нулю. Для простоты выберем $a=1$. Тогда уравнение функции примет вид:

$y = (x+3)(x-1) = x^2 + 2x - 3$

Теперь построим график этой функции на заданном промежутке $ [-5; 2] $. Для этого найдем несколько ключевых точек:

• Нули функции (точки пересечения с осью Ox): Мы их уже знаем, это точки $ (-3; 0) $ и $ (1; 0) $.
• Вершина параболы: Координата $x$ вершины находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $y = x^2 + 2x - 3$, где $a=1, b=2$.
  $x_v = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
  Найдем координату $y$ вершины, подставив $x_v = -1$ в уравнение:
  $y_v = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
  Координаты вершины: $ (-1; -4) $.
• Граничные точки (значения функции на концах промежутка):
  При $x = -5$: $y = (-5)^2 + 2(-5) - 3 = 25 - 10 - 3 = 12$. Точка $ (-5; 12) $.
  При $x = 2$: $y = 2^2 + 2(2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5$. Точка $ (2; 5) $.

Теперь мы можем начертить график. Это будет часть параболы, ветви которой направлены вверх, проходящая через вычисленные точки и ограниченная значениями $x$ от -5 до 2.

Ответ:

Одним из возможных графиков является часть параболы $y = x^2 + 2x - 3$ на отрезке $ [-5; 2] $. Ниже представлен этот график.

5. Начертите график какой-либо функции, определённой на промежутке $[-5; 2]$, которая возрастает на промежутке $[-5; -2]$, убывает на промежутке $[-2; 2]$.

Для построения графика функции, удовлетворяющей заданным условиям, необходимо проанализировать эти условия:

1. Функция определена на промежутке $[-5; 2]$. Это означает, что график должен существовать только для значений аргумента $x$ в этом диапазоне, включая концы отрезка.

2. Функция возрастает на промежутке $[-5; -2]$. Это значит, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. Графически это выглядит как линия, идущая "вверх" слева направо.

3. Функция убывает на промежутке $[-2; 2]$. Это значит, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$. Графически это выглядит как линия, идущая "вниз" слева направо.

Из условий возрастания и убывания следует, что в точке $x = -2$ функция переходит от возрастания к убыванию, а значит, в этой точке находится локальный максимум функции.

Чтобы начертить график, можно выбрать несколько ключевых точек, которые соответствуют этим условиям, и соединить их. Существует бесконечно много функций, удовлетворяющих заданным требованиям. Мы построим одну из самых простых — кусочно-линейную функцию.

Выберем следующие точки:

• Начальная точка на левой границе: пусть при $x = -5$, значение функции $y = 0$. Точка $(-5; 0)$.

• Точка максимума: при $x = -2$, значение $y$ должно быть больше, чем в начальной точке. Пусть $y = 3$. Точка $(-2; 3)$.

• Конечная точка на правой границе: при $x = 2$, значение $y$ должно быть меньше, чем в точке максимума. Пусть $y = -1$. Точка $(2; -1)$.

Соединив последовательно эти точки отрезками прямых, мы получим график функции, которая возрастает на отрезке $[-5; -2]$ и убывает на отрезке $[-2; 2]$, и определена на отрезке $[-5; 2]$.

Ответ:

Ниже представлен один из возможных графиков функции, удовлетворяющей условиям задачи.