Страница 37 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. При каком значении $m$ точка $A (m; 10)$ принадлежит графику функции $y = 0.4x^2$?

1) 5

2) 0,5

3) -5 и 5

4) -0,5 и 0,5

Чтобы точка $A(m; 10)$ принадлежала графику функции $y = 0,4x^2$, её координаты должны удовлетворять уравнению данной функции. Это значит, что если подставить в уравнение функции вместо $x$ значение абсциссы точки $m$, а вместо $y$ — значение ординаты 10, то получится верное равенство.

Подставим координаты точки $A(m; 10)$ в уравнение $y = 0,4x^2$:

$10 = 0,4 \cdot m^2$

Теперь решим это уравнение относительно $m$. Сначала выразим $m^2$, разделив обе части уравнения на 0,4:

$m^2 = \frac{10}{0,4}$

Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель дроби на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе:

$m^2 = \frac{10 \cdot 10}{0,4 \cdot 10} = \frac{100}{4}$

$m^2 = 25$

Чтобы найти $m$, необходимо извлечь квадратный корень из 25. Уравнение $m^2 = 25$ имеет два корня:

$m = \pm \sqrt{25}$

$m_1 = 5$

$m_2 = -5$

Таким образом, точка $A$ принадлежит графику функции при $m=5$ и при $m=-5$. Среди предложенных вариантов этот ответ соответствует номеру 3.

Ответ: 3) -5 и 5

2. При каком значении $a$ точка $B(0,6; -0,12)$ принадлежит графику функции $y = ax^2$?

1) $\frac{1}{3}$

2) $-3$

3) $-\frac{1}{3}$

4) такого значения $a$ не существует

Чтобы точка $B(0,6; -0,12)$ принадлежала графику функции $y = ax^2$, ее координаты $(x; y)$ должны удовлетворять уравнению этой функции.

Подставим значения координат точки $B$ в уравнение функции, где $x = 0,6$ и $y = -0,12$:
$-0,12 = a \cdot (0,6)^2$

Выполним вычисления. Сначала возведем в квадрат значение $x$:
$(0,6)^2 = 0,36$

Теперь уравнение примет вид:
$-0,12 = a \cdot 0,36$

Чтобы найти значение $a$, разделим обе части уравнения на $0,36$:
$a = \frac{-0,12}{0,36}$

Для упрощения дроби можно умножить числитель и знаменатель на 100, чтобы избавиться от десятичных знаков:
$a = \frac{-12}{36}$

Сократим полученную дробь на 12:
$a = -\frac{1}{3}$

Полученное значение $a = -\frac{1}{3}$ соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3) $-\frac{1}{3}$

3. На рисунке 13 изображён график функции $y = f(x)$. Постройте график функции:

1) $y = 3f(x)$;

2) $y = -f(x)$.

Рис. 13

Для построения требуемых графиков мы применим к исходному графику функции $y=f(x)$ соответствующие геометрические преобразования.

1) y = 3f(x)

График функции $y = kf(x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем его растяжения вдоль оси ординат ($Oy$) в $k$ раз, если $k > 1$. В нашем случае $k = 3$, следовательно, нам нужно растянуть исходный график в 3 раза вдоль оси $y$.

Это означает, что абсцисса ($x$) каждой точки графика остается неизменной, а ее ордината ($y$) умножается на 3.

Проанализируем ключевые точки:

• Точки, в которых $f(x) = 0$ (пересечения с осью $Ox$), остаются на своих местах, так как $3 \cdot 0 = 0$. Это точки с абсциссами примерно $-3$, $0$, $3$.
• Локальный максимум в точке с координатами примерно $(-1.5, 1)$ на новом графике станет точкой с координатами $(-1.5, 3 \cdot 1) = (-1.5, 3)$.
• Локальный минимум в точке с координатами примерно $(1.5, -1)$ на новом графике станет точкой с координатами $(1.5, 3 \cdot (-1)) = (1.5, -3)$.

Таким образом, новый график будет "вытянут" по вертикали, его "вершины" и "впадины" станут в 3 раза дальше от оси $Ox$.

Ответ: Чтобы построить график функции $y=3f(x)$, необходимо график функции $y=f(x)$ растянуть в 3 раза от оси абсцисс.

2) y = -f(x)

График функции $y = -f(x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем его симметричного отражения относительно оси абсцисс ($Ox$).

Это означает, что абсцисса ($x$) каждой точки графика остается неизменной, а ее ордината ($y$) меняет свой знак на противоположный.

Проанализируем ключевые точки:

• Точки пересечения с осью $Ox$ (где $y=0$) остаются на месте.
• Локальный максимум в точке $(-1.5, 1)$ после отражения превратится в локальный минимум в точке $(-1.5, -1)$.
• Локальный минимум в точке $(1.5, -1)$ после отражения превратится в локальный максимум в точке $(1.5, 1)$.

Таким образом, все части графика, которые были над осью $Ox$, окажутся под ней, и наоборот. График как бы "перевернется" относительно горизонтальной оси.

Ответ: Чтобы построить график функции $y=-f(x)$, необходимо график функции $y=f(x)$ симметрично отразить относительно оси абсцисс.

4. Постройте график функции

$f(x) = \begin{cases} 0,4x + 2,4, & \text{если } x < -1 \\ 2x^2, & \text{если } -1 \le x \le 1 \\ 3 - x, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Используя построенный график, укажите нули функции, её промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и промежутки убывания.

Данная функция является кусочно-заданной. Построим её график, рассматривая каждый участок отдельно.

1. При $x < -1$ функция имеет вид $f(x) = 0,4x + 2,4$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения найдем две точки:

   • Граничная точка: при $x = -1$, $f(-1) = 0,4 \cdot (-1) + 2,4 = -0,4 + 2,4 = 2$. Точка $(-1; 2)$ будет выколотой (пустой), так как неравенство строгое ($x < -1$).
   • Дополнительная точка: пусть $x = -6$, тогда $f(-6) = 0,4 \cdot (-6) + 2,4 = -2,4 + 2,4 = 0$. Точка $(-6; 0)$.

   Проводим луч через точки $(-6; 0)$ и $(-1; 2)$, при этом точка $(-1; 2)$ не включается в график.

2. При $-1 \le x \le 1$ функция имеет вид $f(x) = 2x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0; 0)$.

   • Найдём значения на концах отрезка:
   • При $x = -1$, $f(-1) = 2 \cdot (-1)^2 = 2$. Точка $(-1; 2)$ будет закрашенной (включена в график). Эта точка совпадает с выколотой точкой первого участка, делая функцию непрерывной в $x=-1$.
   • При $x = 1$, $f(1) = 2 \cdot 1^2 = 2$. Точка $(1; 2)$ также будет закрашенной.
   • Вершина параболы: $x_0 = 0$, $f(0) = 2 \cdot 0^2 = 0$. Точка $(0; 0)$.

   Строим участок параболы, соединяющий точки $(-1; 2)$, $(0; 0)$ и $(1; 2)$.

3. При $x > 1$ функция имеет вид $f(x) = 3 - x$. Это линейная функция, её график — прямая.

   • Граничная точка: при $x = 1$, $f(1) = 3 - 1 = 2$. Точка $(1; 2)$ будет выколотой. Она совпадает с закрашенной точкой второго участка, делая функцию непрерывной в $x=1$.
   • Дополнительная точка: пусть $x = 3$, тогда $f(3) = 3 - 3 = 0$. Точка $(3; 0)$.

   Проводим луч, исходящий из точки $(1; 2)$ и проходящий через точку $(3; 0)$.

Теперь, используя построенный график, ответим на поставленные вопросы.

Нули функции

Нули функции — это значения $x$, при которых $f(x) = 0$. Это точки пересечения графика с осью абсцисс (Ox).
1. На участке $x < -1$: $0,4x + 2,4 = 0 \implies 0,4x = -2,4 \implies x = -6$.
2. На участке $-1 \le x \le 1$: $2x^2 = 0 \implies x = 0$.
3. На участке $x > 1$: $3 - x = 0 \implies x = 3$.
Ответ: нулями функции являются $x = -6$, $x = 0$, $x = 3$.

Промежутки знакопостоянства

Это промежутки, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения.
- Функция положительна ($f(x) > 0$), когда её график находится выше оси Ox. Из графика видно, что это происходит на интервалах от -6 до 0 и от 0 до 3.
- Функция отрицательна ($f(x) < 0$), когда её график находится ниже оси Ox. Это происходит при $x$ меньше -6 и при $x$ больше 3.
Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-6; 0) \cup (0; 3)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; -6) \cup (3; +\infty)$.

Промежутки возрастания и убывания

- Функция возрастает, когда с увеличением $x$ значение $f(x)$ также увеличивается (график идёт вверх).
Это происходит на луче при $x < -1$ и на правой ветви параболы от $x=0$ до $x=1$.
- Функция убывает, когда с увеличением $x$ значение $f(x)$ уменьшается (график идёт вниз).
Это происходит на левой ветви параболы от $x=-1$ до $x=0$ и на луче при $x > 1$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$; функция убывает на промежутках $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$.