Страница 39 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. График какой из данных функций получим, если параллельно перенесём график функции $y = x^2$ на 7 единиц вниз?

1) $y = x^2 + 7$

2) $y = x^2 - 7$

3) $y = (x + 7)^2$

4) $y = (x - 7)^2$

Для того чтобы найти функцию, график которой получен параллельным переносом графика функции $y = x^2$ на 7 единиц вниз, необходимо воспользоваться правилами преобразования графиков.

Общее правило для вертикального сдвига графика функции $y = f(x)$ выглядит следующим образом:
• чтобы сдвинуть график на $c$ единиц вверх, нужно использовать функцию $y = f(x) + c$;
• чтобы сдвинуть график на $c$ единиц вниз, нужно использовать функцию $y = f(x) - c$.

В нашей задаче исходная функция $f(x) = x^2$, и мы выполняем перенос на $c = 7$ единиц вниз. Следовательно, искомая функция будет иметь вид:

$y = x^2 - 7$

Теперь рассмотрим предложенные варианты ответов:

1) $y = x^2 + 7$
Этот график получен параллельным переносом графика $y = x^2$ на 7 единиц вверх.

2) $y = x^2 - 7$
Этот график получен параллельным переносом графика $y = x^2$ на 7 единиц вниз. Это и есть правильный ответ.

3) $y = (x + 7)^2$
Этот график получен параллельным переносом графика $y = x^2$ на 7 единиц влево (вдоль оси Ox).

4) $y = (x - 7)^2$
Этот график получен параллельным переносом графика $y = x^2$ на 7 единиц вправо (вдоль оси Ox).

Таким образом, правильный ответ находится под номером 2.

Ответ: 2

2. Каковы координаты вершины параболы $y = (x + 12)^2 - 8$?
1) (12; -8)
2) (12; 8)
3) (-12; -8)
4) (-12; 8)

Уравнение параболы $y = (x + 12)^2 - 8$ представлено в вершинной форме, общий вид которой $y = a(x - h)^2 + k$. В этой форме $(h; k)$ являются координатами вершины параболы.

Чтобы найти координаты вершины, необходимо сравнить данное уравнение с его общей формой.

1. Найдём абсциссу вершины $h$.
В общей форме выражение в скобках имеет вид $(x - h)$. В нашем уравнении это $(x + 12)$. Мы можем переписать $(x + 12)$ как $(x - (-12))$.
Сравнивая $(x - h)$ и $(x - (-12))$, получаем, что $h = -12$.

2. Найдём ординату вершины $k$.
В общей форме свободный член равен $k$. В нашем уравнении он равен $-8$.
Следовательно, $k = -8$.

Таким образом, координаты вершины параболы $(h; k)$ равны $(-12; -8)$.

Ответ: (-12; -8)

3. Постройте график функции $y = \sqrt{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = \sqrt{x + 5}$;

2) $y = \sqrt{x} + 5$.

Для решения задачи сначала построим график базовой функции $y = \sqrt{x}$.

Область определения этой функции — $x \ge 0$. График представляет собой ветвь параболы, выходящую из начала координат. Вычислим значения для нескольких ключевых точек:

• при $x=0$, $y=0$ → точка (0; 0)
• при $x=1$, $y=1$ → точка (1; 1)
• при $x=4$, $y=2$ → точка (4; 2)
• при $x=9$, $y=3$ → точка (9; 3)

Теперь, используя этот график, построим графики заданных функций.

1) $y = \sqrt{x} + 5$

График функции вида $y = f(x) + c$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса вдоль оси ординат (оси $Oy$) на $c$ единиц. Если $c > 0$, сдвиг происходит вверх, если $c < 0$ — вниз.

В данном случае, чтобы построить график функции $y = \sqrt{x} + 5$, нужно сдвинуть график функции $y = \sqrt{x}$ на 5 единиц вверх.

Каждая точка базового графика $(x_0, y_0)$ сместится в точку $(x_0, y_0 + 5)$. Например:

• (0; 0) → (0; 5)
• (1; 1) → (1; 6)
• (4; 2) → (4; 7)

Ответ: График функции $y = \sqrt{x} + 5$ получается путем параллельного переноса графика функции $y = \sqrt{x}$ на 5 единиц вверх вдоль оси $Oy$.

2) $y = \sqrt{x+5}$

График функции вида $y = f(x+c)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса вдоль оси абсцисс (оси $Ox$) на $c$ единиц. Если $c > 0$, сдвиг происходит влево, если $c < 0$ — вправо.

В данном случае, чтобы построить график функции $y = \sqrt{x+5}$, нужно сдвинуть график функции $y = \sqrt{x}$ на 5 единиц влево.

Каждая точка базового графика $(x_0, y_0)$ сместится в точку $(x_0 - 5, y_0)$. Например:

• (0; 0) → (-5; 0)
• (1; 1) → (-4; 1)
• (4; 2) → (-1; 2)

Область определения функции изменится: $x+5 \ge 0$, то есть $x \ge -5$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x+5}$ получается путем параллельного переноса графика функции $y = \sqrt{x}$ на 5 единиц влево вдоль оси $Ox$.

4. Решите графически уравнение $(x - 2)^2 = \frac{3}{x}$

Чтобы решить уравнение $(x-2)^2 = \frac{3}{x}$ графически, нужно построить в одной системе координат графики двух функций: $y = (x-2)^2$ и $y = \frac{3}{x}$. Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков будут являться решениями данного уравнения.

Графиком этой функции является парабола, которая получена сдвигом графика $y = x^2$ на 2 единицы вправо вдоль оси $Ox$. Вершина параболы находится в точке $(2, 0)$, ветви направлены вверх. Для более точного построения найдем несколько точек:

Графиком этой функции является гипербола, ветви которой располагаются в I и III координатных четвертях. Асимптотами служат оси координат. Найдем несколько точек для построения:

Построим оба графика в одной системе координат.

Из графика видно, что функции пересекаются в одной точке. Координаты этой точки — $(3, 1)$. Это единственное решение, так как при $x < 0$ значения функции $y = (x-2)^2$ всегда положительны ($y \ge 0$), а значения $y = \frac{3}{x}$ — отрицательны ($y < 0$), и пересечений в этой области быть не может.
Абсцисса точки пересечения $x=3$ является корнем исходного уравнения.

Проверим найденный корень, подставив его в уравнение:
$(3-2)^2 = \frac{3}{3}$
$1^2 = 1$
$1 = 1$
Равенство выполняется, следовательно, решение найдено верно.

Ответ: $x=3$.