Страница 44 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равна абсцисса вершины параболы

$y = 2x^2 + 36x - 11?$

1) 9 2) -9 3) 36 4) -36

1. Чтобы найти абсциссу (координату $x$) вершины параболы, заданной уравнением вида $y = ax^2 + bx + c$, необходимо использовать следующую формулу:

$x_v = -\frac{b}{2a}$

В нашем уравнении $y = 2x^2 + 36x - 11$ мы можем определить коэффициенты:

$a = 2$

$b = 36$

$c = -11$

Теперь подставим значения $a$ и $b$ в формулу для нахождения абсциссы вершины:

$x_v = -\frac{36}{2 \cdot 2} = -\frac{36}{4} = -9$

Таким образом, абсцисса вершины данной параболы равна -9. Среди предложенных вариантов это ответ под номером 2.

Ответ: -9

2. На рисунке 16 изображён график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, $D$ — дискриминант квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$.

Укажите верное утверждение.

1) $a > 0, D > 0$

2) $a < 0, D > 0$

3) $a > 0, D < 0$

4) $a < 0, D < 0$

Рис. 16

Для того чтобы определить верное утверждение, необходимо проанализировать график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ и сопоставить его свойства со знаками коэффициента $a$ и дискриминанта $D$.

1. Определение знака коэффициента $a$
Знак старшего коэффициента $a$ определяет направление ветвей параболы. Если ветви направлены вверх, то $a > 0$. Если ветви направлены вниз, то $a < 0$.
На представленном графике ветви параболы направлены вверх, следовательно, $a > 0$.

2. Определение знака дискриминанта $D$
Дискриминант квадратного трехчлена $D = b^2 - 4ac$ определяет количество точек пересечения графика функции с осью абсцисс (осью $Ox$).

• Если $D > 0$, парабола пересекает ось $Ox$ в двух точках.
• Если $D = 0$, парабола касается оси $Ox$ в одной точке (в вершине).
• Если $D < 0$, парабола не имеет точек пересечения с осью $Ox$.

На рисунке парабола расположена полностью выше оси $Ox$ и не пересекает ее. Это означает, что у соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ нет действительных корней. Следовательно, дискриминант $D < 0$.

Вывод
Объединяя полученные результаты, мы имеем $a > 0$ и $D < 0$. Это соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3) $a > 0, D < 0$

3. Постройте график функции $f(x) = x^2 - 8x + 7$. Используя график, найдите:

1) область значений данной функции;

2) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

3) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения, а при каких — отрицательные.

Для построения графика функции $f(x) = x^2 - 8x + 7$ найдем основные параметры параболы.

• Это квадратичная функция, график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1 ($a > 0$), значит, ветви параболы направлены вверх.
• Найдем координаты вершины параболы $(x_v; y_v)$. Абсцисса вершины находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Для данной функции $a=1$, $b=-8$.
  $x_v = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$.
  Для нахождения ординаты вершины подставим $x_v$ в функцию:
  $y_v = f(4) = 4^2 - 8(4) + 7 = 16 - 32 + 7 = -9$.
  Координаты вершины: $(4; -9)$.
• Найдем точки пересечения графика с осями координат.
  С осью Oy (при $x=0$): $f(0) = 0^2 - 8(0) + 7 = 7$. Точка пересечения — $(0; 7)$.
  С осью Ox (нули функции, при $f(x)=0$): $x^2 - 8x + 7 = 0$.
  По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 8$ и $x_1 \cdot x_2 = 7$. Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 7$.
  Точки пересечения — $(1; 0)$ и $(7; 0)$.

Используя вершину $(4; -9)$, точки пересечения с осями $(1; 0)$, $(7; 0)$, $(0; 7)$ и симметричную точке $(0; 7)$ относительно оси симметрии $x=4$ точку $(8; 7)$, строим график функции. График представляет собой параболу, проходящую через эти точки, с вершиной в точке $(4; -9)$ и ветвями, направленными вверх.

1) область значений данной функции

Область значений функции — это все возможные значения, которые принимает переменная $y$. Так как ветви параболы направлены вверх, ее наименьшее значение достигается в вершине. Ордината вершины равна -9. Все остальные значения функции больше этого числа. Таким образом, область значений функции — это промежуток от -9, включая -9, до плюс бесконечности.
Ответ: $E(f) = [-9; +\infty)$.

2) промежуток возрастания и промежуток убывания функции

По графику видно, что функция убывает слева от своей вершины и возрастает справа от нее. Абсцисса вершины $x = 4$ является точкой экстремума (минимума). На промежутке от $-\infty$ до 4 функция убывает, а на промежутке от 4 до $+\infty$ функция возрастает.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 4]$ и возрастает на промежутке $[4; +\infty)$.

3) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения, а при каких — отрицательные

Функция принимает положительные значения ($f(x) > 0$), когда ее график находится выше оси Ox. Это происходит на интервалах левее и правее корней функции ($x=1$ и $x=7$). Функция принимает отрицательные значения ($f(x) < 0$), когда ее график находится ниже оси Ox. Это происходит на интервале между корнями.
Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in (-\infty; 1) \cup (7; +\infty)$; функция принимает отрицательные значения при $x \in (1; 7)$.

4. При каком значении с наименьшее значение функции $y = 7x^2 - 14x + c$ равно $-6$?

Данная функция $y = 7x^2 - 14x + c$ является квадратичной, ее график — парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 7 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция имеет наименьшее значение в своей вершине.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ для функции вида $y = ax^2 + bx + c$ находятся по формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

$y_0 = y(x_0)$

В нашем случае $a=7$ и $b=-14$. Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{-14}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1$

Наименьшее значение функции равно ординате вершины $y_0$. Подставим найденное значение $x_0=1$ в уравнение функции, чтобы найти $y_0$:

$y_0 = 7(1)^2 - 14(1) + c = 7 - 14 + c = -7 + c$

По условию задачи, наименьшее значение функции равно -6. Приравняем полученное выражение для $y_0$ к этому значению:

$-7 + c = -6$

Теперь решим это уравнение относительно $c$:

$c = -6 + 7$

$c = 1$

Таким образом, при $c=1$ наименьшее значение функции будет равно -6.

Ответ: 1