Страница 38 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. При каком значении $m$ точка C ($m$; 4,8) принадлежит графику функции $y = 0.3x^2$?

1) 16

2) 4

3) -4 и 4

4) -16 и 16

Для того чтобы точка $C(m; 4,8)$ принадлежала графику функции $y = 0,3x^2$, её координаты должны удовлетворять уравнению этой функции. Это означает, что если подставить в уравнение функции вместо $x$ значение $m$, а вместо $y$ значение $4,8$, то получится верное равенство.

Подставим координаты точки $C$ в уравнение функции: $4,8 = 0,3 \cdot m^2$

Теперь необходимо решить это уравнение относительно $m$. Разделим обе части уравнения на $0,3$: $m^2 = \frac{4,8}{0,3}$

Чтобы упростить деление, можно умножить числитель и знаменатель дроби на 10: $m^2 = \frac{48}{3}$ $m^2 = 16$

Из этого уравнения находим значения $m$, извлекая квадратный корень из 16. Важно помнить, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения: положительное и отрицательное. $m = \pm\sqrt{16}$ $m_1 = 4$ $m_2 = -4$

Таким образом, существуют два значения $m$, при которых точка $C$ принадлежит графику функции: $4$ и $-4$.

Ответ: 3) -4 и 4

2. При каком значении $a$ точка $D(0,3; -0,015)$ принадлежит графику функции $y = ax^2$?

1) $\frac{1}{6}$

2) $-6$

3) $-\frac{1}{6}$

4) такого значения $a$ не существует

Для того чтобы точка принадлежала графику функции, ее координаты должны удовлетворять уравнению этой функции. В данном случае, координаты точки $D(0,3; -0,015)$ должны удовлетворять уравнению $y = ax^2$.

Подставим значения $x = 0,3$ и $y = -0,015$ в уравнение функции:

$-0,015 = a \cdot (0,3)^2$

Вычислим квадрат $x$:

$(0,3)^2 = 0,09$

Теперь уравнение примет вид:

$-0,015 = a \cdot 0,09$

Выразим $a$ из этого уравнения, разделив обе части на $0,09$:

$a = \frac{-0,015}{0,09}$

Чтобы упростить дробь, умножим числитель и знаменатель на 1000, чтобы избавиться от десятичных знаков:

$a = \frac{-0,015 \cdot 1000}{0,09 \cdot 1000} = \frac{-15}{90}$

Сократим полученную дробь на 15:

$a = -\frac{15 \div 15}{90 \div 15} = -\frac{1}{6}$

Полученное значение $a = -\frac{1}{6}$ соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3) $-\frac{1}{6}$

3. На рисунке 14 изображён график функции $y = f(x)$.

Постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{2} f(x)$;

2) $y = -f(x)$.

Рис. 14

Для решения задачи сначала проанализируем исходный график функции $y=f(x)$. Масштаб по обеим осям таков, что одна клетка равна 0.5 единицы.

Ключевые точки на графике $y=f(x)$:

• Два локальных максимума в точках $(-1; 1.5)$ и $(1; 1.5)$.
• Один локальный минимум в точке $(0; -0.5)$.
• Нули функции (точки пересечения с осью OX) находятся примерно в точках $x \approx \pm 0.7$ и $x \approx \pm 1.4$.

Теперь построим графики требуемых функций.

Чтобы построить график функции $y = \frac{1}{2}f(x)$, необходимо выполнить преобразование графика функции $y=f(x)$, а именно — сжатие графика вдоль оси ординат (оси OY) к оси абсцисс (оси OX) в 2 раза.

Это означает, что для каждой точки $(x_0, y_0)$ на исходном графике соответствующая точка на новом графике будет иметь координаты $(x_0, \frac{1}{2}y_0)$. Абсциссы всех точек остаются неизменными, а их ординаты умножаются на коэффициент $\frac{1}{2}$.

Рассмотрим, как изменятся ключевые точки:

• Локальные максимумы из точек $(-1; 1.5)$ и $(1; 1.5)$ переместятся в точки $(-1; 1.5 \cdot \frac{1}{2}) = (-1; 0.75)$ и $(1; 1.5 \cdot \frac{1}{2}) = (1; 0.75)$.
• Локальный минимум из точки $(0; -0.5)$ переместится в точку $(0; -0.5 \cdot \frac{1}{2}) = (0; -0.25)$.
• Точки пересечения с осью OX, в которых $y=0$, останутся на своих местах, так как $0 \cdot \frac{1}{2} = 0$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{2}f(x)$ — это исходный график, сжатый по вертикали к оси абсцисс в два раза. Локальные максимумы нового графика находятся в точках $(-1; 0.75)$ и $(1; 0.75)$, а локальный минимум — в точке $(0; -0.25)$.

Чтобы построить график функции $y = -f(x)$, необходимо симметрично отразить график функции $y=f(x)$ относительно оси абсцисс (оси OX).

При таком преобразовании каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика переходит в точку $(x_0, -y_0)$. Абсциссы всех точек остаются неизменными, а знаки их ординат меняются на противоположные.

Рассмотрим, как изменятся ключевые точки:

• Локальные максимумы исходного графика в точках $(-1; 1.5)$ и $(1; 1.5)$ превратятся в локальные минимумы в точках $(-1; -1.5)$ и $(1; -1.5)$.
• Локальный минимум исходного графика в точке $(0; -0.5)$ превратится в локальный максимум в точке $(0; -(-0.5)) = (0; 0.5)$.
• Точки пересечения с осью OX останутся на своих местах, так как $-0 = 0$.
• Части графика, которые были выше оси OX (положительные значения $f(x)$), окажутся ниже, и наоборот.

Ответ: График функции $y = -f(x)$ — это исходный график, симметрично отражённый относительно оси абсцисс. Локальные максимумы исходного графика становятся локальными минимумами в точках $(-1; -1.5)$ и $(1; -1.5)$, а локальный минимум становится локальным максимумом в точке $(0; 0.5)$.

4. Постройте график функции

$f(x) = \begin{cases} -x - 3, & \text{если } x < -1 \\ -2x^2, & \text{если } -1 \le x \le 1 \\ 2x - 4, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Используя построенный график, укажите нули функции, её промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и промежутки убывания.

Для построения графика кусочно-заданной функции рассмотрим каждый участок отдельно.

1. На промежутке $x < -1$ функция задана формулой $f(x) = -x - 3$. Это линейная функция, ее график – прямая. Для построения найдем две точки:
Если $x = -2$, то $f(-2) = -(-2) - 3 = 2 - 3 = -1$. Точка $(-2; -1)$.
Если $x = -3$, то $f(-3) = -(-3) - 3 = 3 - 3 = 0$. Точка $(-3; 0)$.
На границе промежутка при $x = -1$ значение функции будет $f(-1) = -(-1) - 3 = -2$. Так как неравенство строгое ($x < -1$), точка $(-1; -2)$ на графике будет выколотой (пустой кружок).

2. На промежутке $-1 \le x \le 1$ функция задана формулой $f(x) = -2x^2$. Это квадратичная функция, ее график – парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится в точке $(0; 0)$. Найдем значения на границах промежутка:
Если $x = -1$, то $f(-1) = -2(-1)^2 = -2$. Точка $(-1; -2)$.
Если $x = 1$, то $f(1) = -2(1)^2 = -2$. Точка $(1; -2)$.
Так как неравенство нестрогое ($-1 \le x \le 1$), точки $(-1; -2)$ и $(1; -2)$ будут закрашенными.

3. На промежутке $x > 1$ функция задана формулой $f(x) = 2x - 4$. Это линейная функция, ее график – прямая. Для построения найдем две точки:
Если $x = 2$, то $f(2) = 2(2) - 4 = 0$. Точка $(2; 0)$.
Если $x = 3$, то $f(3) = 2(3) - 4 = 2$. Точка $(3; 2)$.
На границе промежутка при $x = 1$ значение функции будет $f(1) = 2(1) - 4 = -2$. Так как неравенство строгое ($x > 1$), точка $(1; -2)$ на графике будет выколотой.

Соединив все части, получаем график функции. Заметим, что в точках $x=-1$ и $x=1$ разрывов нет, так как значения функции на границах участков совпадают.

Используя построенный график, определим свойства функции.

нули функции
Нули функции – это значения $x$, при которых $f(x) = 0$. Из графика и расчетов видно, что график пересекает ось абсцисс в трех точках:
1. $-x - 3 = 0 \Rightarrow x = -3$ (принадлежит промежутку $x < -1$)
2. $-2x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$ (принадлежит промежутку $-1 \le x \le 1$)
3. $2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$ (принадлежит промежутку $x > 1$)
Ответ: $x = -3, x = 0, x = 2$.

промежутки знакопостоянства
Определим, на каких промежутках функция принимает положительные, а на каких – отрицательные значения.
Функция положительна ($f(x) > 0$), когда ее график находится выше оси Ox. Это происходит на интервалах $(-3; 0)$ и $(2; +\infty)$.
Функция отрицательна ($f(x) < 0$), когда ее график находится ниже оси Ox. Это происходит на интервалах $(-\infty; -3)$ и $(0; 2)$.
Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-3; 0) \cup (2; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; -3) \cup (0; 2)$.

промежутки возрастания
Функция возрастает, когда с увеличением $x$ значение $f(x)$ также увеличивается (график идет вверх).
На промежутке $[-1; 0]$ (часть параболы) и на промежутке $(1; +\infty)$ (прямая с положительным коэффициентом).
Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1; 0]$ и $(1; +\infty)$.

промежутки убывания
Функция убывает, когда с увеличением $x$ значение $f(x)$ уменьшается (график идет вниз).
На промежутке $(-\infty; -1)$ (прямая с отрицательным коэффициентом) и на промежутке $[0; 1]$ (часть параболы).
Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$.