Страница 32 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Функция $y = f(x)$ убывает на множестве действительных чисел. Укажите среди приведённых значений функции $f$ наименьшее.

1) $f(-2)$ 2) $f(-2,01)$ 3) $f(-1,9)$ 4) $f(-1,09)$

По определению, функция $y=f(x)$ является убывающей на множестве действительных чисел, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Простыми словами, для убывающей функции большему значению аргумента (икса) соответствует меньшее значение функции (игрека).

Чтобы найти наименьшее значение функции среди предложенных вариантов, нам необходимо выбрать вариант с наибольшим значением аргумента.

Сравним значения аргументов:

1) $x = -2$

2) $x = -2,01$

3) $x = -1,9$

4) $x = -1,09$

Расположим эти числа в порядке возрастания:

$-2,01 < -2 < -1,9 < -1,09$

Наибольшим значением аргумента является $-1,09$. Следовательно, значение функции $f(-1,09)$ будет наименьшим.

Ответ: 4) $f(-1,09)$

2. Какая из данных функций является возрастающей?

1) $y = -7x + 9$

2) $y = -8 + 0,4x$

3) $y = -x - 1$

4) $y = -2x$

Линейная функция задается уравнением вида $y = kx + b$, где $k$ является угловым коэффициентом.

Функция считается возрастающей, если её угловой коэффициент $k$ положителен ($k > 0$). Если $k$ отрицателен ($k < 0$), функция является убывающей. Если $k=0$, функция постоянна.

Проанализируем каждую из предложенных функций, чтобы найти ее угловой коэффициент $k$.

1) $y = -7x + 9$

В этой функции угловой коэффициент $k = -7$. Так как $k < 0$, функция является убывающей.

2) $y = -8 + 0,4x$

Представим функцию в стандартном виде $y = kx + b$: $y = 0,4x - 8$. Угловой коэффициент $k = 0,4$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей.

3) $y = -x - 1$

В этой функции угловой коэффициент $k = -1$. Так как $k < 0$, функция является убывающей.

4) $y = -2x$

В этой функции угловой коэффициент $k = -2$. Так как $k < 0$, функция является убывающей.

Таким образом, единственной возрастающей функцией среди перечисленных является функция под номером 2.

Ответ: 2

3. Найдите нули функции $f(x) = 5x^2 - 6x + 1$.

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $f(x)$ равно нулю. Чтобы найти нули функции $f(x) = 5x^2 - 6x + 1$, необходимо решить уравнение $f(x) = 0$.

$5x^2 - 6x + 1 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a = 5$, $b = -6$ и $c = 1$.

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула для вычисления дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$.

Поскольку дискриминант $D = 16 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их, используя формулу корней квадратного уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Вычисляем первый корень:
$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6 + 4}{10} = \frac{10}{10} = 1$.

Вычисляем второй корень:
$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6 - 4}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Таким образом, нулями функции являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 1/5$.

Ответ: $1$; $1/5$.

4. Начертите график какой-либо функции, определённой на промежутке $[-3; 5]$, нулями которой являются числа $-2$ и $3$.

Задача состоит в том, чтобы начертить график функции $y = f(x)$, которая удовлетворяет следующим условиям:

• Функция определена на отрезке $[-3; 5]$.
• Нулями функции (точками, где график пересекает ось абсцисс $Ox$) являются числа $x = -2$ и $x = 3$.

Существует бесконечное множество функций, удовлетворяющих этим условиям. В качестве примера выберем самую простую из них — квадратичную функцию, график которой является параболой.

Если нули функции равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$, то ее можно задать формулой $y = a(x - x_1)(x - x_2)$. Подставив наши значения, получим: $y = a(x - (-2))(x - 3) = a(x+2)(x-3)$.

Для простоты построения выберем коэффициент $a=1$. Тогда уравнение функции примет вид: $y = (x+2)(x-3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6$.

Теперь построим график функции $y = x^2 - x - 6$ на промежутке $[-3; 5]$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$).

Для построения графика найдем координаты нескольких ключевых точек:

• Нули функции: точки пересечения с осью $Ox$. Они заданы в условии: $(-2; 0)$ и $(3; 0)$.
• Вершина параболы: Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -b/(2a)$. Для $y = x^2 - x - 6$ имеем $a=1, b=-1$, значит $x_v = -(-1)/(2 \cdot 1) = 0.5$. Ордината вершины: $y_v = (0.5)^2 - 0.5 - 6 = 0.25 - 0.5 - 6 = -6.25$. Координаты вершины: $(0.5; -6.25)$.
• Точка пересечения с осью Oy: Значение функции при $x=0$. $y = 0^2 - 0 - 6 = -6$. Точка: $(0; -6)$.
• Значения на концах отрезка $[-3; 5]$:
  • При $x = -3$: $y = (-3)^2 - (-3) - 6 = 9 + 3 - 6 = 6$. Точка: $(-3; 6)$.
  • При $x = 5$: $y = 5^2 - 5 - 6 = 25 - 5 - 6 = 14$. Точка: $(5; 14)$.

Соединим эти точки плавной линией. Так как функция определена на отрезке $[-3; 5]$, график представляет собой часть параболы между точками $(-3; 6)$ и $(5; 14)$. Эти конечные точки включаются в график, поэтому на чертеже они будут закрашены.

Ответ: Один из возможных графиков функции, удовлетворяющей условиям, представлен выше. Он соответствует функции $y=x^2-x-6$ на отрезке $[-3; 5]$.

5. Начертите график какой-либо функции, определённой на промежутке $[-3; 5]$, которая убывает на промежутке $[-3; 1]$ и возрастает на промежутке $[1; 5]$.

Для построения графика функции, удовлетворяющей заданным условиям, необходимо проанализировать эти условия:

• Область определения функции: промежуток $[-3; 5]$. Это означает, что график должен быть начерчен только для значений $x$ от $-3$ до $5$ включительно.
• Убывание функции: на промежутке $[-3; 1]$. Это значит, что при движении по графику слева направо (от $x = -3$ до $x = 1$) значение $y$ должно уменьшаться.
• Возрастание функции: на промежутке $[1; 5]$. Это значит, что при движении по графику слева направо (от $x = 1$ до $x = 5$) значение $y$ должно увеличиваться.

Из условий убывания на промежутке $[-3; 1]$ и возрастания на промежутке $[1; 5]$ следует, что в точке $x = 1$ функция достигает своего локального минимума.

Существует бесконечно много функций, удовлетворяющих этим требованиям. В качестве примера можно взять простую квадратичную функцию (параболу), ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке с абсциссой $x=1$. Возьмем, например, функцию $f(x) = (x-1)^2$. Ее вершина находится в точке $(1, 0)$, что соответствует точке минимума при $x=1$. Стоит отметить, что можно было бы построить и другие графики, например, состоящие из двух отрезков прямых, с изломом в точке $x=1$.

Вычислим значения выбранной функции $f(x) = (x-1)^2$ на границах заданного промежутка и в точке минимума, чтобы построить график:

• При $x = -3$: $y = (-3 - 1)^2 = (-4)^2 = 16$. Координаты точки: $(-3, 16)$.
• При $x = 1$: $y = (1 - 1)^2 = 0^2 = 0$. Координаты точки: $(1, 0)$ — это вершина параболы (точка минимума).
• При $x = 5$: $y = (5 - 1)^2 = 4^2 = 16$. Координаты точки: $(5, 16)$.

Ниже представлен график функции $y=(x-1)^2$ на промежутке $[-3; 5]$, который удовлетворяет всем условиям задачи.

На графике видно, что на промежутке $[-3; 1]$ функция убывает (ее значение уменьшается с 16 до 0), а на промежутке $[1; 5]$ функция возрастает (ее значение увеличивается с 0 до 16). Область определения функции — отрезок $[-3; 5]$. Таким образом, построенный график полностью удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: График функции, удовлетворяющей заданным условиям, представлен выше.