Страница 26 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какое из приведённых чисел является решением системы неравенств

1) -4

2) -3

3) 5

4) 6

Чтобы найти, какое из приведённых чисел является решением системы неравенств, нужно решить эту систему. Решением системы является множество чисел, удовлетворяющих каждому из неравенств одновременно.

Система неравенств:

$$ \begin{cases} x + 5 > 2 \\ -0,2x \ge -1 \end{cases} $$

Решим первое неравенство:

$x + 5 > 2$

Перенесём 5 в правую часть неравенства, изменив знак:

$x > 2 - 5$

$x > -3$

Теперь решим второе неравенство:

$-0,2x \ge -1$

Разделим обе части неравенства на -0,2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с $\ge$ на $\le$):

$x \le \frac{-1}{-0,2}$

$x \le 5$

Таким образом, решение системы должно удовлетворять двум условиям одновременно: $x > -3$ и $x \le 5$. Это можно записать в виде двойного неравенства $-3 < x \le 5$ или в виде числового промежутка $(-3; 5]$.

Теперь проверим, какое из предложенных чисел принадлежит этому промежутку.

1) -4

Число -4 не принадлежит промежутку $(-3; 5]$, так как не выполняется условие $-4 > -3$.

2) -3

Число -3 не принадлежит промежутку $(-3; 5]$, так как неравенство $x > -3$ является строгим.

3) 5

Число 5 принадлежит промежутку $(-3; 5]$, так как выполняются оба условия: $5 > -3$ и $5 \le 5$.

4) 6

Число 6 не принадлежит промежутку $(-3; 5]$, так как не выполняется условие $6 \le 5$.

Единственное число из предложенных, которое является решением системы, — это 5.

Ответ: 5

2. Сколько целых решений имеет система неравенств

$\begin{cases} 2 - 7x < 23, \\ 6 + 5x \le 6? \end{cases}$

1) 3 2) 4 3) 5 4) 6

Чтобы найти количество целых решений, необходимо решить систему неравенств. Для этого решим каждое неравенство по отдельности.

Решим первое неравенство:

$2 - 7x < 23$

Вычтем 2 из обеих частей неравенства:

$-7x < 23 - 2$

$-7x < 21$

Разделим обе части на -7. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x > \frac{21}{-7}$

$x > -3$

Теперь решим второе неравенство:

$6 + 5x \le 6$

Вычтем 6 из обеих частей неравенства:

$5x \le 6 - 6$

$5x \le 0$

Разделим обе части на 5:

$x \le \frac{0}{5}$

$x \le 0$

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств. Таким образом, искомые значения $x$ должны удовлетворять условиям $x > -3$ и $x \le 0$ одновременно.

Это можно записать в виде двойного неравенства:

$-3 < x \le 0$

Теперь найдем все целые числа, которые принадлежат этому промежутку. Это числа, которые строго больше -3 и меньше или равны 0.

Выпишем эти целые числа: -2, -1, 0.

Подсчитаем их количество: всего 3 целых решения.

Ответ: 3

3. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} (x + 1)(x - 5) > (x - 3)(x + 3), \\ (x - 4)^2 < x(x - 10); \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3x + 14 \ge 4 - x, \\ \frac{5x + 7}{4} - \frac{x - 1}{2} \ge 3x; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 2 - 5(x - 1) \le 1 + 3x, \\ 4(x + 2) - 3x < x + 9. \end{cases}$

1)Решим первое неравенство системы: $(x+1)(x-5) > (x-3)(x+3)$.
Раскроем скобки в обеих частях неравенства. В правой части используем формулу разности квадратов:
$x^2 - 5x + x - 5 > x^2 - 9$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 4x - 5 > x^2 - 9$
Вычтем $x^2$ из обеих частей:
$-4x - 5 > -9$
Перенесем -5 в правую часть с противоположным знаком:
$-4x > -9 + 5$
$-4x > -4$
Разделим обе части на -4, изменив знак неравенства на противоположный:
$x < 1$

Теперь решим второе неравенство системы: $(x-4)^2 < x(x-10)$.
Раскроем скобки в обеих частях. В левой части используем формулу квадрата разности:
$x^2 - 8x + 16 < x^2 - 10x$
Вычтем $x^2$ из обеих частей:
$-8x + 16 < -10x$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$-8x + 10x < -16$
$2x < -16$
Разделим обе части на 2:
$x < -8$

Объединим решения обоих неравенств. Нам нужно найти пересечение множеств $x < 1$ и $x < -8$.
Это пересечение соответствует более сильному неравенству $x < -8$.
Ответ: $(-\infty; -8)$

2)Решим первое неравенство системы: $3x+14 \geq 4-x$.
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:
$3x + x \geq 4 - 14$
$4x \geq -10$
Разделим обе части на 4:
$x \geq -\frac{10}{4}$
$x \geq -2.5$

Теперь решим второе неравенство системы: $\frac{5x+7}{4} - \frac{x-1}{2} \geq 3x$.
Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен 4:
$4 \cdot \left(\frac{5x+7}{4} - \frac{x-1}{2}\right) \geq 4 \cdot 3x$
$5x+7 - 2(x-1) \geq 12x$
Раскроем скобки:
$5x + 7 - 2x + 2 \geq 12x$
Приведем подобные слагаемые:
$3x + 9 \geq 12x$
Перенесем $3x$ в правую часть:
$9 \geq 12x - 3x$
$9 \geq 9x$
Разделим обе части на 9:
$1 \geq x$, что эквивалентно $x \leq 1$.

Объединим решения обоих неравенств. Нам нужно найти пересечение множеств $x \geq -2.5$ и $x \leq 1$.
Решением является отрезок от -2.5 до 1, включая концы.
Ответ: $[-2.5; 1]$

3)Решим первое неравенство системы: $2-5(x-1) \leq 1+3x$.
Раскроем скобки:
$2 - 5x + 5 \leq 1 + 3x$
Приведем подобные слагаемые:
$7 - 5x \leq 1 + 3x$
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а постоянные члены — в левую:
$7 - 1 \leq 3x + 5x$
$6 \leq 8x$
Разделим обе части на 8:
$\frac{6}{8} \leq x$
$x \geq \frac{3}{4}$ или $x \geq 0.75$

Теперь решим второе неравенство системы: $4(x+2)-3x < x+9$.
Раскроем скобки:
$4x + 8 - 3x < x + 9$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$x + 8 < x + 9$
Вычтем $x$ из обеих частей:
$8 < 9$
Полученное неравенство является верным числовым неравенством и не зависит от $x$. Это означает, что второе неравенство выполняется для любого действительного числа $x$.

Объединим решения обоих неравенств. Нам нужно найти пересечение множеств $x \geq 0.75$ и $x \in (-\infty; +\infty)$.
Пересечением этих множеств является $x \geq 0.75$.
Ответ: $[0.75; +\infty)$

4. При каких значениях переменной имеет смысл выражение $\frac{1}{x^2 + 2x} + \frac{1}{\sqrt{5x + 35}}$?

Данное выражение имеет смысл, когда определены оба слагаемых. Для этого должны выполняться два условия: знаменатель первой дроби не должен быть равен нулю, и подкоренное выражение в знаменателе второй дроби должно быть строго больше нуля.

1. Рассмотрим первое условие. Знаменатель дроби $\frac{1}{x^2 + 2x}$ не должен равняться нулю. Найдем значения $x$, при которых он обращается в ноль:

$x^2 + 2x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем:

$x = 0$ или $x + 2 = 0$, что дает $x = -2$.

Следовательно, переменная $x$ не может принимать значения 0 и -2.

2. Рассмотрим второе условие. Для дроби $\frac{1}{\sqrt{5x + 35}}$ выражение под знаком корня $5x + 35$ должно быть неотрицательным. Однако, поскольку корень находится в знаменателе, он не может быть равен нулю. Таким образом, подкоренное выражение должно быть строго положительным:

$5x + 35 > 0$

Решим это неравенство:

$5x > -35$

$x > \frac{-35}{5}$

$x > -7$

Объединим все найденные условия. Переменная $x$ должна быть больше -7, но при этом не должна равняться -2 и 0. Точки -2 и 0 принадлежат промежутку $(-7, +\infty)$, поэтому их необходимо исключить.

Таким образом, область допустимых значений для переменной $x$ представляет собой объединение трех интервалов: от -7 до -2, от -2 до 0 и от 0 до плюс бесконечности.

Ответ: $x \in (-7; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; +\infty)$.