Номер 4, страница 26, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. При каких значениях переменной имеет смысл выражение $\frac{1}{x^2 + 2x} + \frac{1}{\sqrt{5x + 35}}$?

Данное выражение имеет смысл, когда определены оба слагаемых. Для этого должны выполняться два условия: знаменатель первой дроби не должен быть равен нулю, и подкоренное выражение в знаменателе второй дроби должно быть строго больше нуля.

1. Рассмотрим первое условие. Знаменатель дроби $\frac{1}{x^2 + 2x}$ не должен равняться нулю. Найдем значения $x$, при которых он обращается в ноль:

$x^2 + 2x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем:

$x = 0$ или $x + 2 = 0$, что дает $x = -2$.

Следовательно, переменная $x$ не может принимать значения 0 и -2.

2. Рассмотрим второе условие. Для дроби $\frac{1}{\sqrt{5x + 35}}$ выражение под знаком корня $5x + 35$ должно быть неотрицательным. Однако, поскольку корень находится в знаменателе, он не может быть равен нулю. Таким образом, подкоренное выражение должно быть строго положительным:

$5x + 35 > 0$

Решим это неравенство:

$5x > -35$

$x > \frac{-35}{5}$

$x > -7$

Объединим все найденные условия. Переменная $x$ должна быть больше -7, но при этом не должна равняться -2 и 0. Точки -2 и 0 принадлежат промежутку $(-7, +\infty)$, поэтому их необходимо исключить.

Таким образом, область допустимых значений для переменной $x$ представляет собой объединение трех интервалов: от -7 до -2, от -2 до 0 и от 0 до плюс бесконечности.

Ответ: $x \in (-7; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; +\infty)$.