Номер 5, страница 27, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Постройте график функции $f(x) = \begin{cases} 4, & \text{если } x < -2 \\ x^2, & \text{если } -2 \le x \le 2 \\ x + 2, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

Для построения графика данной кусочно-заданной функции необходимо рассмотреть каждый из трех промежутков, на которых она определена, и построить соответствующую часть графика.

1. На промежутке $x < -2$

Функция задана как $f(x) = 4$. Это функция-константа, ее график — горизонтальная прямая $y=4$. Поскольку это условие выполняется только для $x < -2$, мы строим луч этой прямой, который начинается в точке с абсциссой $x=-2$. Ордината этой точки $y=4$. Так как неравенство строгое ($x < -2$), точка $(-2, 4)$ не принадлежит этой части графика, поэтому мы отмечаем ее как выколотую (пустой кружок).

2. На промежутке $-2 \le x \le 2$

Функция задана как $f(x) = x^2$. Это квадратичная функция, ее график — парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Мы строим только ту часть параболы, которая находится в пределах отрезка $[-2, 2]$.
Найдем значения функции на концах этого отрезка:

• При $x = -2$: $f(-2) = (-2)^2 = 4$. Координаты точки $(-2, 4)$.
• При $x = 2$: $f(2) = 2^2 = 4$. Координаты точки $(2, 4)$.

Поскольку неравенства нестрогие ($-2 \le x \le 2$), обе эти точки принадлежат графику и отмечаются как закрашенные. Заметим, что точка $(-2, 4)$ от параболы совпадает с выколотой точкой от луча $y=4$ и "закрашивает" ее. Это означает, что в точке $x=-2$ разрыва нет.

3. На промежутке $x > 2$

Функция задана как $f(x) = x+2$. Это линейная функция, ее график — прямая линия. Мы строим луч, соответствующий условию $x > 2$.
Найдем координаты начальной точки луча, подставив $x=2$: $y = 2+2=4$. Так как неравенство строгое ($x > 2$), точка $(2, 4)$ является выколотой для этой части графика. Однако эта точка является конечной для предыдущей части (параболы) и там она закрашенная. Следовательно, в точке $x=2$ разрыва также нет.
Чтобы построить луч, найдем еще одну точку, взяв любое значение $x > 2$. Например, при $x=3$:
$f(3) = 3+2=5$.
Таким образом, мы строим луч, выходящий из точки $(2, 4)$ и проходящий через точку $(3, 5)$.

Объединив все три построенные части, мы получаем итоговый график функции. График является непрерывным на всей числовой прямой.

Ответ: График функции состоит из трех частей:
1) Горизонтальный луч $y=4$ на интервале $(-\infty, -2)$.
2) Часть параболы $y=x^2$ на отрезке $[-2, 2]$, соединяющая точки $(-2, 4)$ и $(2, 4)$ и проходящая через начало координат.
3) Луч прямой $y=x+2$ на интервале $(2, +\infty)$, выходящий из точки $(2, 4)$.
График функции является непрерывной линией без разрывов.