Номер 4, страница 27, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \frac{3x-1}{x^2-8x-9}$

2) $f(x) = \sqrt{x+5} + \sqrt{8-x}$

1) $f(x) = \frac{3x - 1}{x^2 - 8x - 9}$

Область определения данной функции — это все действительные числа, за исключением тех, при которых знаменатель дроби равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, решив квадратное уравнение:

$x^2 - 8x - 9 = 0$

Для решения этого уравнения можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант.

Используем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 = 10^2$

Найдем корни уравнения:

$x_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 10}{2 \cdot 1} = \frac{18}{2} = 9$

$x_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 10}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$

Таким образом, знаменатель равен нулю при $x = 9$ и $x = -1$. Эти значения необходимо исключить из области определения функции.

Следовательно, область определения функции $D(f)$ — это все действительные числа, кроме -1 и 9.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 9) \cup (9; +\infty)$.

2) $f(x) = \sqrt{x+5} + \sqrt{8-x}$

Данная функция представляет собой сумму двух квадратных корней. Область определения функции — это множество всех значений $x$, при которых оба подкоренных выражения неотрицательны, то есть больше или равны нулю.

Это условие можно записать в виде системы неравенств:

$\begin{cases} x + 5 \geq 0 \\ 8 - x \geq 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно:

1) $x + 5 \geq 0 \implies x \geq -5$

2) $8 - x \geq 0 \implies 8 \geq x \implies x \leq 8$

Областью определения функции будет пересечение решений этих двух неравенств, то есть все значения $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $x \geq -5$ и $x \leq 8$.

Объединяя оба условия, получаем двойное неравенство: $-5 \leq x \leq 8$.

Это соответствует числовому промежутку $[-5; 8]$.

Ответ: $D(f) = [-5; 8]$.