Номер 4, страница 28, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \frac{4x+3}{x^2+7x-8}$;

2) $f(x) = \sqrt{x+8} + \sqrt{9-x}$.

1) Область определения функции $f(x) = \frac{4x+3}{x^2+7x-8}$ — это множество всех действительных чисел $x$, для которых знаменатель дроби не равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль. Для этого решим квадратное уравнение:

$x^2 + 7x - 8 = 0$

Для решения воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней равна $-7$, а их произведение равно $-8$.

$x_1 + x_2 = -7$

$x_1 \cdot x_2 = -8$

Подбором находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -8$.

Также можно найти корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 \pm 9}{2}$

$x_1 = \frac{-7 + 9}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-7 - 9}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Таким образом, знаменатель равен нулю при $x = 1$ и $x = -8$. Эти значения необходимо исключить из области определения функции.

Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup (-8; 1) \cup (1; +\infty)$.

2) Область определения функции $f(x) = \sqrt{x+8} + \sqrt{9-x}$ — это множество всех действительных чисел $x$, для которых оба подкоренных выражения неотрицательны, так как нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа.

Составим систему неравенств:

$\begin{cases} x + 8 \ge 0 \\ 9 - x \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно:

$x + 8 \ge 0 \implies x \ge -8$

$9 - x \ge 0 \implies -x \ge -9 \implies x \le 9$

Областью определения функции является пересечение решений этих двух неравенств, то есть все значения $x$, которые одновременно больше или равны $-8$ и меньше или равны $9$.

$-8 \le x \le 9$

Это соответствует числовому отрезку $[-8; 9]$.

Ответ: $x \in [-8; 9]$.