Номер 5, страница 28, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Постройте график функции $f(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x \le -1, \\ x^2, & \text{если } -1 < x < 3, \\ 12-x, & \text{если } x \ge 3. \end{cases}$

Для построения графика кусочно-заданной функции необходимо построить график каждой из трёх частей на соответствующем ей промежутке.

1. График на промежутке $x \le -1$

На этом промежутке функция задана как $f(x) = 1$. Графиком этой функции является горизонтальная прямая $y=1$. Поскольку условие $x \le -1$, мы строим луч, который начинается в точке $(-1, 1)$ и идёт влево параллельно оси абсцисс. Точка $(-1, 1)$ включена в график, так как неравенство нестрогое.

2. График на промежутке $-1 < x < 3$

На этом интервале функция задана как $f(x) = x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Нам нужно построить её часть между $x = -1$ и $x = 3$.

Вычислим значения функции на границах интервала:

• При $x \to -1$, $f(x) \to (-1)^2 = 1$. График стремится к точке $(-1, 1)$. Эта точка совпадает с конечной точкой предыдущего участка, поэтому в точке $x = -1$ разрыва нет.
• При $x \to 3$, $f(x) \to 3^2 = 9$. График стремится к точке $(3, 9)$. Так как неравенство строгое ($x < 3$), эта точка не принадлежит данному участку графика (она будет "выколотой").

Для более точного построения найдем несколько промежуточных точек:

• $f(0) = 0^2 = 0$, точка $(0, 0)$.
• $f(1) = 1^2 = 1$, точка $(1, 1)$.
• $f(2) = 2^2 = 4$, точка $(2, 4)$.

Таким образом, на интервале $(-1, 3)$ график представляет собой дугу параболы, соединяющую точки $(-1, 1)$ и $(3, 9)$ и проходящую через начало координат.

3. График на промежутке $x \ge 3$

На этом промежутке функция задана как $f(x) = 12 - x$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек.

• Начальная точка луча при $x = 3$: $f(3) = 12 - 3 = 9$. Точка $(3, 9)$. Так как неравенство нестрогое ($x \ge 3$), эта точка принадлежит графику. Она "закрашивает" выколотую точку от предыдущего участка, поэтому в точке $x=3$ функция непрерывна.
• Возьмем еще одну точку, например, при $x = 12$: $f(12) = 12 - 12 = 0$. Точка $(12, 0)$.

Таким образом, при $x \ge 3$ график представляет собой луч, выходящий из точки $(3, 9)$ и проходящий через точку $(12, 0)$.

Объединив все три части на одной координатной плоскости, мы получим искомый график функции $f(x)$, который является непрерывной линией.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную линию, состоящую из трёх частей: 1) горизонтального луча $y=1$ для $x \le -1$, исходящего из точки $(-1, 1)$ влево; 2) участка параболы $y=x^2$ с вершиной в $(0, 0)$ между точками $(-1, 1)$ и $(3, 9)$; 3) луча прямой $y=12-x$, исходящего из точки $(3, 9)$ вправо и вниз.