Номер 4, страница 29, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \sqrt{x + 5} + \frac{1}{x^2 - 25}$;

2) $f(x) = \frac{\sqrt{7 - x}}{\sqrt{x + 3}} + \frac{1}{x^2 - 7x}$.

1) Для функции $f(x) = \sqrt{x+5} + \frac{1}{x^2 - 25}$ область определения (ОДЗ) находится из двух условий, которые должны выполняться одновременно:

• Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x+5 \ge 0$.
• Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x^2 - 25 \ne 0$.

Запишем эти условия в виде системы и решим ее:

$\begin{cases} x+5 \ge 0 \\ x^2-25 \ne 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем:

$x \ge -5$

Второе условие можно разложить по формуле разности квадратов:

$(x-5)(x+5) \ne 0$

Это означает, что $x-5 \ne 0$ и $x+5 \ne 0$, то есть $x \ne 5$ и $x \ne -5$.

Теперь объединим все условия: $x \ge -5$, $x \ne 5$ и $x \ne -5$. Условия $x \ge -5$ и $x \ne -5$ вместе дают строгое неравенство $x > -5$. Дополнительно нужно учесть, что $x \ne 5$.

Таким образом, область определения функции — это все числа от -5 до +$\infty$, за исключением точек -5 и 5. В виде интервалов это записывается как объединение $(-5, 5)$ и $(5, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-5; 5) \cup (5; +\infty)$.

2) Для функции $f(x) = \frac{\sqrt{7-x}}{\sqrt{x+3}} + \frac{1}{x^2 - 7x}$ область определения находится из следующих условий:

• Выражение под корнем в числителе должно быть неотрицательным: $7-x \ge 0$.
• Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным (поскольку деление на ноль недопустимо): $x+3 > 0$.
• Знаменатель второй дроби не должен быть равен нулю: $x^2 - 7x \ne 0$.

Запишем эти условия в виде системы:

$\begin{cases} 7-x \ge 0 \\ x+3 > 0 \\ x^2-7x \ne 0 \end{cases}$

Решим каждое условие по отдельности:

1. $7-x \ge 0 \implies -x \ge -7 \implies x \le 7$.

2. $x+3 > 0 \implies x > -3$.

3. $x^2 - 7x \ne 0 \implies x(x-7) \ne 0$, что означает $x \ne 0$ и $x \ne 7$.

Теперь найдем пересечение всех полученных условий. Из первых двух следует, что $x$ находится в полуинтервале $(-3, 7]$. Из этого промежутка необходимо исключить точки, которые не удовлетворяют третьему условию, то есть $x=0$ и $x=7$.

Исключаем $x=0$: интервал $(-3, 7]$ разбивается на два: $(-3, 0) \cup (0, 7]$.

Исключаем $x=7$: полуинтервал $(0, 7]$ превращается в открытый интервал $(0, 7)$.

В результате получаем объединение двух интервалов.

Ответ: $x \in (-3; 0) \cup (0; 7)$.