Номер 5, страница 30, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Постройте график функции $f(x) = \frac{x^2 + 3x - 4}{x^2 + 3x - 4}$.

Для построения графика функции $f(x) = \frac{x^2 + 3x - 4}{x^2 + 3x - 4}$, в первую очередь, найдем ее область определения. Область определения функции — это все значения $x$, для которых знаменатель дроби не равен нулю.

Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти точки, которые необходимо исключить из области определения:

$x^2 + 3x - 4 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета. Сумма корней равна $-3$, а их произведение равно $-4$. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.

Следовательно, область определения функции $D(f)$ — это все действительные числа, кроме $x = 1$ и $x = -4$. Записать это можно так: $D(f) = (-\infty; -4) \cup (-4; 1) \cup (1; +\infty)$.

Теперь упростим выражение для функции. Для всех $x$ из области определения числитель и знаменатель дроби равны, поэтому их можно сократить:

$f(x) = 1$, при $x \neq 1$ и $x \neq -4$.

Таким образом, график нашей функции совпадает с графиком функции $y = 1$ за исключением двух точек. График функции $y = 1$ — это прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку $(0, 1)$.

На этой прямой нужно "выколоть" (обозначить пустыми кружочками) точки, абсциссы которых не входят в область определения функции. Это точки с абсциссами $x = 1$ и $x = -4$. Ордината для обеих точек равна 1.

Координаты выколотых точек: $(1, 1)$ и $(-4, 1)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=1$ с двумя выколотыми точками: $(-4, 1)$ и $(1, 1)$.