Номер 4, страница 30, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \sqrt{6-x} + \frac{1}{x^2-36}$;

2) $f(x) = \frac{\sqrt{x+8}}{\sqrt{9-x}} + \frac{1}{x^2+8x}$.

1) Область определения функции $f(x) = \sqrt{6 - x} + \frac{1}{x^2 - 36}$ находится из следующих условий:

Во-первых, выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$6 - x \ge 0$
$x \le 6$

Во-вторых, знаменатель дроби не должен равняться нулю:
$x^2 - 36 \ne 0$
$(x - 6)(x + 6) \ne 0$
Отсюда $x \ne 6$ и $x \ne -6$.

Объединим эти условия в систему:
$\begin{cases} x \le 6 \\ x \ne 6 \\ x \ne -6 \end{cases}$

Из первых двух условий ($x \le 6$ и $x \ne 6$) следует, что $x < 6$. Также необходимо исключить значение $x = -6$.
Таким образом, область определения функции — это все числа, меньшие 6, кроме -6. В виде интервалов это записывается как $(-\infty, -6) \cup (-6, 6)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -6) \cup (-6, 6)$.

2) Область определения функции $f(x) = \frac{\sqrt{x + 8}}{\sqrt{9 - x}} + \frac{1}{x^2 + 8x}$ находится из следующих условий:

Для первого слагаемого $\frac{\sqrt{x + 8}}{\sqrt{9 - x}}$ должны выполняться условия:
1. Выражение под корнем в числителе должно быть неотрицательным: $x + 8 \ge 0 \implies x \ge -8$.
2. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным (так как корень в знаменателе, который не может быть равен нулю): $9 - x > 0 \implies x < 9$.

Для второго слагаемого $\frac{1}{x^2 + 8x}$ знаменатель не должен равняться нулю:
$x^2 + 8x \ne 0$
$x(x + 8) \ne 0$
Отсюда $x \ne 0$ и $x \ne -8$.

Объединим все условия в систему:
$\begin{cases} x \ge -8 \\ x < 9 \\ x \ne 0 \\ x \ne -8 \end{cases}$

Из условий $x \ge -8$ и $x \ne -8$ следует, что $x > -8$.
Совмещая с остальными условиями, получаем: $x$ должен быть в интервале $(-8, 9)$, при этом не равняясь нулю.
Таким образом, область определения функции — это объединение интервалов $(-8, 0)$ и $(0, 9)$.

Ответ: $x \in (-8, 0) \cup (0, 9)$.